Taylorpolynom und Taylorformel

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Taylorpolynom und Taylorformel

Ziel: Approximation einer Funktion $f : I \to R$ durch ein Polynom $p$ vom Grad $n$
Idee: Bestimme $p$ so, dass $p^{(k)} (x_{0}) = f^{(k)} (x_{0})$ für möglichst viele $k$ (für $x_{0}$ fest gewählt)

Sei $f : D \to R$ $n$ -mal differenzierbar und sei $x_{0} \in D$ . Dann heißt

T_{n} (x) = \sum_{k = 0}^{n} \frac{f^{(k)} (x_{0})}{k!} (x - x_{0})^{k}

das $n$ -te Taylorpolynom von $f$ im Entwicklungspunkt $x_{0}$ .

$R_{n} (x) = f (x) - T_{n} (x)$ heißt Restglied oder Fehler bei der Approximation von $f$ durch $T_{n}$ .

#Satz Taylorformel

Sei $f : I \to R$ $n$ -mal differenzierbar im Intervall $I$ und sei $x_{0} \in I$ . Dann gilt

f (x) = T_{n} (x) + R_{n} (x) = \sum_{k = 0}^{n} \frac{f^{(k)} (x_{0})}{k!} (x - x_{0})^{k} + R_{n} (x),

mit

lim_{x \to x_{0}} \frac{R_{n} (x)}{(x - x_{0})^{n}} = 0.

Ist $f$ sogar $(n + 1)$ -mal differenzierbar, so kann man das Restglied auch schreiben als

R_{n} (x) = \frac{f^{(n + 1)} (ξ)}{(n + 1)!} (x - x_{0})^{n + 1}

mit einem $ξ$ zwischen $x$ und $x_{0}$ . Das Restglied in dieser Darstellung nennt man auch das Lagrange-Restglied.

Kriterium für lokale Extrema

Bereits bekannt:

Ist $f : [a, b] \to R$ stetig, so besitzt $f$ ein globales Minimum und ein globales Maximum (VL 20, Satz vom Minimum und Maximum, Folie 9).
Ist $f$ auch differenzierbar, so sind die einzigen Kandidaten für Extremstellen die Randpunkte $a$ und $b$ und die Punkte $x$ mit $f^{'} (x) = 0$ (VL 23, Notwendiges Extremwertkriterium, Folie 5).
Wenn die Ableitung ihr Vorzeichen an einem kritischen Punkt wechselt, so liegt dort ein Extremum vor (VL 23, Extremwert-Test, Folie 12).

#Satz Kriterium für (lokale) Extremstellen mit der 2. Ableitung

Sei $f$ auf $[a, b]$ differenzierbar und $x_{0} \in] a, b [$ mit $f^{'} (x_{0}) = 0$ .
(1) Wenn $f^{″} (x_{0}) > 0$ , dann hat $f$ in $x_{0}$ ein lokales Minimum.
(2) Wenn $f^{″} (x_{0}) < 0$ , dann hat $f$ in $x_{0}$ ein lokales Maximum.

Es gibt ein Problem, bei Funktionen, bei denen die zweite Ableitung = 0 ist, da diese sehr wohl eine Extremstelle haben können. Sie Beispiel $f (x) = x^{4}$ :
- Es gilt $f^{'} (x) = 4 x^{3}$ , also $f^{'} (0) = 0$ und $f^{″} (x) = 12 x^{2}$ , also $f^{″} (0) = 0$ . Trotzdem hat $f$ an der Stelle $x_{0} = 0$ ein globales Minimum, also eine Extremstelle. Der letzte Satz liefert keine Aussage. Idee: Höhere Ableitungen untersuchen

#Satz Lokale Extremwerte

Sei $f : I \to R$ eine $n$ -mal differenzierbare Funktion und sei $x_{0}$ ein innerer Punkt von $I$ . Es gelte

f^{'} (x_{0}) = f^{″} (x_{0}) = \dots = f^{(n - 1)} (x_{0}) = 0 und f^{(n)} (x_{0}) \neq 0.

Dann gilt:
4) Ist $n$ ungerade, so hat $f$ in $x_{0}$ kein lokales Extremum.
5) Ist $n$ gerade, so hat $f$ ein lokales Extremum:

Ist $f^{(n)} (x_{0}) < 0$ , so hat $f$ ein lokales Maximum.
Ist $f^{(n)} (x_{0}) > 0$ , so hat $f$ ein lokales Minimum.

Bemerkung

(1) Für $n = 1$ sagt Satz (Lokale Extremwerte) noch einmal, dass innere Punkte mit $f^{'} (x_{0}) \neq 0$ nicht als Extremstellen in Frage kommen.
(2) Für $n = 2$ ist das Satz (Kriterium für Extr. 2. Abl.)

Anwendung der Taylor-Approximation

Eine (komplizierte) Funktion $f (x)$ wird in der Nähe eines Punktes $x_{0}$ durch ein (einfaches) Taylorpolynom $T_{n} (x)$ angenähert. Der Fehler $R_{n} (x) = f (x) - T_{n} (x)$ wird dabei klein.

Qualitative Fehlerfortpflanzung: $∆ f \approx | f^{'} (x) | \cdot ∆ x$

Ableitungen können durch Differenzenquotienten genähert werden. Z.B. $f^{'} (x) \approx \frac{f (x + h) - f (x)}{h}$ oder $f^{″} (x) \approx \frac{f (x + h) - 2 f (x) + f (x - h)}{h^{2}}$ .

Die Taylorreihen für die wichtigsten Funktionen um $x_{0} = 0$ :

$e^{x} = \sum_{k = 0}^{n} (\frac{x^{k}}{k!})$
$\sin (x) = \sum ((- 1)^{k} \frac{x^{2 k + 1}}{(2 k + 1)!})$
$\cos (x) = \sum ((- 1)^{k} \frac{x^{2 k}}{(2 k)!})$
Ganz besonders wichtig: Die Euler-Formel: $e^{i x} = \cos (x) + i \sin (x)$

Taylorpolynom und Taylorformel

Kriterium für lokale Extrema

Anwendung der Taylor-Approximation

Die Taylorreihen für die wichtigsten Funktionen um x0=0:

Die Taylorreihen für die wichtigsten Funktionen um $x_{0} = 0$ :