Eigenschaften symmetrischer Matrizen

Sei $A\in {\mathbb{R}}^{n\times n}$ symmetrisch ($A=A^T$). Dann gilt:

1. Alle Eigenwerte sind reell.
2. Eigenvektoren zu verschiedenen Eigenwerten sind orthogonal zueinander.
3. $A$ ist immer diagonalisierbar durch eine orthogonale Matrix $Q$: $Q^{T}AQ=\text{diag}({\lambda }_1,\dots ,{\lambda }_n)$.