Binomialkoeffizient

Für $n, k \in N$ mit $0 \leq k \leq n$ definieren wir den Binomialkoeffizienten durch$$\binom{n}{k} := \frac{n!}{k!(n-k)!}.$$
Andere Schreibweise: $$\binom{n}{k} = \prod_{j=1}^k \frac{n-j+1}{j}.$$

Seien $k, n \in N$ .

$(\binom{n}{0}) = \frac{n!}{0! (n - 0)!} = \frac{n!}{1 \cdot n!} = 1$
Für alle $0 \leq k \leq n$ gilt $(\binom{n}{k}) = (\binom{n}{n - k})$ da $$\binom{n}{n-k} = \frac{n!}{(n-k)!(n - (n-k))!}= \frac{n!}{(n-k)! k!} = \binom{n}{k}$$
Für alle $1 \leq k \leq n$ gilt die Rekursionsformel: $$\binom{n}{k-1} + \binom{n}{k} = \binom{n+1}{k}$$
$(\binom{n}{k}) = 0 für k > n oder k < 0$