Vektorräume

#Mathematik #MINTgrün #Studium #AnaLinA #Definition

Vektorräume

K

-Vektorraum

Ein $K$ -Vektorraum ist eine Menge $V$ mit einer Addition $+$ und einer skalaren Multiplikation $\cdot$ , so dass $v + w \in V$ und $λ \cdot v \in V$ für alle $v, w \in V$ und $λ \in K$ gilt.

Zudem gelten folgende Rechenregeln für alle $v, w, x \in V$ und $λ, μ \in K$

$+$ ist assoziativ: $(v + w) + x = v + (w + x)$
$+$ ist kommutativ: $v + w = w + v$
es gibt einen Nullvektor $0 \in V$ mit $0 + v = v$
zu jedem Vektor $v \in V$ gibt es $- v \in V$ mit $v + (- v) = 0$
es gilt: $(λ μ) \cdot v = λ \cdot (μ \cdot v)$
Distributivgesetz: $λ \cdot (v + w) = λ \cdot v + λ \cdot w$
Distributivgesetz: $(λ + μ) \cdot v = λ \cdot v + μ \cdot v$
$1 \cdot v = v$

Bemerkungen

Die Elemente $K$ heißen Skalare. $K$ steht für einen Körper
Jeder $K$ -Vektorraum enthält einen Nullvektor und ist somit nicht leer, d.h. $V \neq \emptyset$
Das $K$ bei " $K$ -Vektorraum" sagt, aus welchem Zahlbereich die Zahlen (=Skalare) kommen, mit denen multipliziert wird.
Kurzschreibweise: $λ v$ anstatt $λ \cdot v$ oder Vektorraum anstatt $K$ -Vektorraum
Die geometrische Anschauung zu den Vektorraumoperationen ist die aus dem $R^{2}$ :!AnaI LinA Ing Skript, p.76

Addition: [\begin{matrix} x_{1} \\ ⋮ \\ x_{m} \end{matrix}] + [\begin{matrix} y_{1} \\ ⋮ \\ y_{m} \end{matrix}] = [\begin{matrix} x_{1} + y_{1} \\ ⋮ \\ x_{m} + y_{m} \end{matrix}]

Skalarmultiplikation: λ [\begin{matrix} x_{1} \\ ⋮ \\ x_{m} \end{matrix}] = [\begin{matrix} λ x_{1} \\ ⋮ \\ λ x_{m} \end{matrix}]

Nullvektor: \vec{0} = [\begin{matrix} 0 \\ ⋮ \\ 0 \end{matrix}]

Vektoren werden oft mit einem Pfeil geschrieben: $\vec{x} = [\begin{matrix} x_{1} \\ ⋮ \\ x_{n} \end{matrix}]$
$v = K [z] := {p (z)) \sum_{k = 0}^{n} a_{k} z^{k} | a_{0}, \dots, a_{n} \in K, n \in N}$ ist der Vektorraum der Polynome. Also haben wir $C [z]$ oder $R [z]$ .
Addition und Skalarmultiplikation → VL 08
Sei $D$ eine Menge. Dann ist $v = {f : D \to R}$ ein $R$ -Vektorraum mit
- Addition: $(f + g) (x) = f (x) + g (x)$ für $f, g \in V$
- Skalarmultiplikation: $(λ f) (x) = λ \cdot f (x)$ für $f \in V, λ \in R$
- Nullvektor in $V$ ist die Nullfunktion $f_{0} : D \to R, x \mapsto 0$ . Dann gilt für $f \in V : f_{0} + f = f$ , denn $(f_{0} + f) (x) = f_{0} (x) + f (x)$
- Analog ist ${f : D \to C}$ ein $C$ -Vektorraum.

Teilräume

#Definition : Teilraum

Sei $V$ ein $K$ -Vektorraum. Eine Teilmenge $T \subseteq V$ ist ein Teilraum (oder Unterraum oder Untervektorraum) von $V$ , falls $T$ selbst ein $K$ -Vektorraum ist (mit dem gleichen $+$ und $\cdot$ wie $V$ ).

#Satz : Teilraumkriterium

Sei $V$ ein $K$ -Vektorraum. Dann ist $T \subseteq V$ ein Teilraum von $V$ , genau dann wenn

$0 \in T$
für alle $v, w \in T$ ist $v + w \in T$
für alle $v \in T$ und $λ \in K$ ist $λ v \in T$

Geraden und Ebenen durch $\vec{0}$ sind Teilräume des $R^{3}$
Allgemeiner:
- $K [z]_{\leq n} := {p \in K [z] | \deg (p) \leq n}$ ist ein Teilraum von $K [z]$ für jedes $n \in N$

Linearkombinationen und lineare Hülle (Spann)

Linearkombination von zwei Vektoren:
!AnaI LinA Ing Skript, p.78

#Definition : Linearkombination

Sei $V$ ein $K$ -Vektorraum. Ein Vektor $v \in V$ heißt Linearkombination der Vektoren $v_{1}, \dots, v_{k} \in V$ , wenn Zahlen $λ_{1}, \dots, λ_{k} \in K$ existieren, so dass $v = λ_{1} v_{1} + λ_{2} v_{2} + \dots + λ_{k} v_{k} = \sum_{j = 1}^{k} λ_{j} v_{j}$ .
Man sagt, $v$ lässt sich aus $v_{1}, \dots, v_{k}$ linear kombinieren. Die $λ_{1}, \dots, λ_{k}$ heißen Koeffizienten der Linearkombination

nab hat drei Vektoren. Die Linearkombination besagt, dass man einen Vektor erreichen kann, indem die beiden anderen Vektoren mit $λ$ multiplizieren kann um dann auf den einen Vektor zu kommen.

#Definition : Spann

Sei $V$ ein $K$ -Vektorraum. Die Menge aller Linearkombinationen von $v_{1}, \dots, v_{k} \in V$ heißt der Spann oder lineare Hülle oder das Erzeugnis von $v_{1}, \dots, v_{k}$ . Schreibweise:

span {v_{1}, \dots, v_{k}} := {λ_{1} v_{1} + \dots + λ_{k} v_{k} | λ_{1}, \dots, λ_{k} \in K}

#Satz

Sei $V$ ein $K$ -Vektorraum und $v_{1}, \dots, v_{k} \in V$ . Dann ist $span {v_{1}, \dots, v_{k}}$ ein Teilraum von $V$ .

Beweis:
z.z.: Teilraumkriterien sind erfüllt

Für $λ_{1} = λ_{k} = 0 \in K$ ist $0_{v} = 0 \cdot v_{1} + \dots + 0 \cdot v_{k} \in span {v_{1}, . ., v_{k}}$
Seien
$v = λ_{1} v_{1} + \dots + λ_{k} v_{k}$
$w = μ_{1} v_{1} + μ_{k} + v_{k}$
$u, v \in span {v_{1}, \dots, v_{k}}$
$⟹ v + w = (λ_{1} v_{1} + \dots + λ_{k} v_{k}) + (μ_{1} v_{1}, \dots, μ_{k} v_{k} = (λ_{1} + μ_{1}) v_{1} + \dots + (λ_{k} + μ_{k}) v_{k}$
Dabei sind $λ_{1} + μ_{1}, λ_{k} + μ_{k} \in K$
$⟹ v + w \in span {v_{1}, \dots, v_{k}}$
Sei $v = λ_{1} v_{1} + \dots + λ_{k} v_{k} \in span {v_{1}, \dots, v_{k}}$ und sei $λ \in K$
$⟹ λ v = λ (λ_{1} v_{1}, \dots, λ_{k} v_{k}) = (λ λ_{1}) v_{1} + \dots + (λ λ_{k}) v_{k} \in span {v_{1}, \dots, v_{k}}$
$⟹ span {v_{1}, \dots, v_{k}}$ ist ein Teilraum von $V$

Erzeugersysteme

#Definition : Erzeugendensystem

Sei $V$ ein $K$ -Vektorraum und $T$ ein Teilraum von $V$ . EIne Menge ${v_{1}, \dots, v_{k}} \subseteq T$ heißt Erzeugendenssytem (EZS) von $T$ , falls ihr Spann gleich $T$ ist:

span {v_{1}, \dots, v_{k}} = T