Matrix

#Mathematik #MINTgrün #Studium #AnaLinA #Definition

Matrizen

Großes Ziel → Lösen linearer Gleichungssysteme
Mit Matrix ist das effizient möglich

Für Zahlen $a_{i, j} \in K$ , $i = 1, \dots, m$ , $j = 1, \dots, n$ , heißt das Zahlenschema

A = [\begin{matrix} a_{1, 1} & a_{1, 2} & \dots & a_{1, n} \\ a_{2, 1} & a_{2, 2} & \dots & a_{2, n} \\ ⋮ & ⋮ & ⋱ & ⋮ \\ a_{m, 1} & a_{m, 2} & \dots & a_{m, n} \end{matrix}] = [a_{i, j}] = [a_{i, j}]_{\begin{matrix} i = 1, \dots, m \\ j = 1, \dots, n \end{matrix}}

eine $m \times n$ -Matrix mit Einträgen in $K$ . Die Menge aller $m \times n$ -Matrizen mit Einträgen in $K$ wird mit $K^{m, n}$ bezeichnet. Eine Matrix heißt quadratisch, falls $m = n$ gilt.

$i$ ist die Zeile und $j$ die Spalte

Wichtige Matrizen: Nullmatrix, Einheitsmatrix, Zeilen-/Spaltenvektor

Zwei besonders wichtige Matrizen sind die Nullmatrix, deren Einträge alle 0 sind:

0 = 0_{m, n} = [0] = [\begin{matrix} 0 & 0 & \dots & 0 \\ 0 & 0 & \dots & 0 \\ ⋮ & ⋮ & ⋱ & ⋮ \\ 0 & 0 & \dots & 0 \end{matrix}] \in K^{m, n},

sowie die Einheitsmatrix (auch Identität) die quadratisch ist ( $m = n$ )

I_{n} := [\begin{matrix} 1 & 0 & \dots & 0 \\ 0 & 1 & ⋱ & ⋮ \\ ⋮ & ⋱ & ⋱ & 0 \\ 0 & \dots & 0 & 1 \end{matrix}] \in K^{n, n} .

Ist $m = 1$ , also/Users/richard/Projects/WiRe/wr_praxis_1/.venv/bin/python -m pip install matplotlib$$ A = \begin{bmatrix} a_{1,1} & a_{1,2} & \dots & a_{1,n} \end{bmatrix} \in \mathbb{K}^{1,n}, $$
so nennt man $A$ einen Zeilenvektor. Ist hingegen $n = 1$ , also

A = [\begin{matrix} a_{1, 1} \\ a_{2, 1} \\ ⋮ \\ a_{m, 1} \end{matrix}] \in K^{m, 1},

so nennt man $A$ einen Spaltenvektor oder kurz Vektor in $K^{m, 1}$ , und man schreibt kürzer

K^{m} := K^{m, 1} .

#Definition : Addition und Skalarmultiplikation von Matrizen

Seien $A = [a_{i, j}]$ , $B = [b_{i, j}] \in K^{m, n}$ zwei $m \times n$ -Matrizen und $λ \in K$ . Dann ist die Summe von $A$ und $B$ die Matrix

A + B = [a_{i, j} + b_{i, j}] \in K^{m, n}

und die Multiplikation mit einem Skalar (kurz: Skalarmultiplikation) ist die Matrix

λ A = [λ a_{i, j}] \in K^{m, n} .

Beachten Sie, dass nur Matrizen gleicher Größe addiert werden können. Bei der Summe und Skalarmultiplikation ist das Ergebnis wieder eine $m \times n$ -Matrix, also von der gleichen Größe wie die ursprünglichen Matrizen.

#Satz : Rechenregeln für die Skalarmultiplikation

Für $A, B \in K^{m, n}$ und $α, β \in K$ gilt

$α (β A) = (α β) A$ ,
$α (A + B) = α A + α B$ ,
$(α + β) A = α A + β A$ ,

Daher ist $K^{m, n}$ mit der Addition und Skalarmultiplikation ein $K$ -Vektorraum. Dieser hat die Basis ${E_{i, j} ∣ i = 1, \dots, m; j = 1, \dots, n}$ , wobei $E_{i, j} \in K^{m, n}$ eine 1 in Eintrag $(i, j)$ hat und alle anderen Einträge Null sind. Daher ist $\dim (K^{m, n}) = m n$ .

Matrizenmultiplikation

#Definition : Matrizenmultiplikation

Seien $A = [a_{i, j}] \in K^{m, n}$ und $B = [b_{i, j}] \in K^{n, p}$ . Dann ist

A B := [\sum_{k = 1}^{n} a_{i, k} b_{k, j}] = [a_{i, 1} b_{1, j} + a_{i, 2} b_{2, j} + \dots + a_{i, n} b_{n, j}] \in K^{m, p} .

Ausgeschrieben bedeutet das

A B = [\begin{matrix} \sum_{k = 1}^{n} a_{1, k} b_{k, 1} & \sum_{k = 1}^{n} a_{1, k} b_{k, 2} & \dots & \sum_{k = 1}^{n} a_{1, k} b_{k, p} \\ \sum_{k = 1}^{n} a_{2, k} b_{k, 1} & \sum_{k = 1}^{n} a_{2, k} b_{k, 2} & \dots & \sum_{k = 1}^{n} a_{2, k} b_{k, p} \\ ⋮ & ⋮ & ⋱ & ⋮ \\ \sum_{k = 1}^{n} a_{m, k} b_{k, 1} & \sum_{k = 1}^{n} a_{m, k} b_{k, 2} & \dots & \sum_{k = 1}^{n} a_{m, k} b_{k, p} \end{matrix}] .

#Satz : Rechenregeln für die Matrizenmultiplikation

Für Matrizen $A, B, C$ mit geeigneter Größe und für $α \in K$ gilt

$A (B C) = (A B) C$ ,
$A (B + C) = A B + A C$ ,
$(A + B) C = A C + B C$ ,
$α (A B) = (α A) B = A (α B)$ ,
$I_{m} A = A = A I_{n}$ für $A \in K^{m, n}$ .

Im Allgemeinen ist $A B \neq B A$ .

Inverse Matrix

#Definition : Inverse

Eine quadratische Matrix $A \in K^{n, n}$ heißt invertierbar, falls es eine Matrix $B \in K^{n, n}$ gibt mit

B A = I_{n} $ $ u n d $ $ A B = I_{n} $ $ . D i e M a t r i x $ B $ i s t d a n n e i n d e u t i g b e s t i m m t, w i r d d i e * I n v e r s e * v o n $ A $ g e n a n n t u n d m i t $ A^{- 1} $ b e z e i c h n e t . $ I_{n} $ i s t e i n e E i n h e i t s m a t r i x

#Satz : Eigenschaften Invertierbarer Matrizen

Sind $A, B \in K^{n, n}$ invertierbar, so gelten

$A^{- 1}$ ist invertierbar mit $(A^{- 1})^{- 1} = A$ .
$A B$ ist invertierbar mit $(A B)^{- 1} = B^{- 1} A^{- 1}$ .

Invertierbarkeit von Matrizen

#Definition : Berechnung der Inversen

Ist $A \in K^{n, n}$ (quadratisch), so gehen wir wie folgt vor, um $A^{- 1}$ zu berechnen (falls $A$ invertierbar ist).

Bringe $[A | I_{n}]$ mit elementaren Zeiloperationen in NZSF $[C | D]$ .
Wenn $Rang (A) \neq p n$ ist, ist $A$ nicht invertierbar und wir können aufhören
Wenn $Rang (A) = n$ ist, so ist $C = I_{n}$ und $A^{- 1} = D$

Spezialfall für

A \in K^{2, 2}

Sei $A \in K^{2, 2}$ invertierbar und gegeben durch $$A = \begin{bmatrix}a & b \ c &d\end{bmatrix}$$
Dann ist die Inverse gegeben durch $$A^{-1} = \frac{1}{ad-bc} \begin{bmatrix}d & -b \ -c & a\end{bmatrix}$$

Transposition

Definition 12.17: Transponierte

Definition 12.17 (Transponierte). Die Transponierte der Matrix $A = [a_{i, j}] \in K^{m, n}$ ist die $n \times m$ -Matrix

A^{T} := [b_{i, j}] \in K^{n, m}, wobei b_{i, j} = a_{j, i} .

Bei der Transposition werden also die Zeilen von $A$ zu den Spalten von $A^{T}$ . (Lies: $A^{T}$ als „A transponiert“.)

#Satz : Rechenregeln für die Transponierte

Für $A, B \in K^{m, n}$ , $C \in K^{n, l}$ und $α \in K$ gilt:

$(A^{T})^{T} = A$ ,
$(A + B)^{T} = A^{T} + B^{T}$ ,
$(α A)^{T} = α A^{T}$ ,
$(A C)^{T} = C^{T} A^{T}$ .

Adjungierte Matrix

#Definition : Adjungierte (Hermitesche) Matrix

Die Adjugierte der Matrix $A = [a_{i, j}] \in C^{m, n}$ ist die $n \times m$ -Matrix

A^{H} := [b_{i, j}] \in C^{n, m}, wobei b_{i, j} = \overset{―}{a_{j, i}} .

(Lies: $A^{H}$ als „A hermitesch“ oder „A adjungiert“.)

Die Adjungierte von $A$ ist also die Transponierte, wo zusätzlich alle Einträge komplex konjugiert werden. Statt $A^{H}$ wird auch die Bezeichnung $A^{*}$ verwendet.

#Satz : Rechenregeln für die Adjungierte

Für $A, B \in C^{m, n}$ , $C \in C^{n, l}$ und $α \in C$ gilt:

$(A^{H})^{H} = A$ ,
$(A + B)^{H} = A^{H} + B^{H}$ ,
$(α A)^{H} = \overset{―}{α} A^{H}$ ,
$(A C)^{H} = C^{H} A^{H}$ .

Bei reellen Zahlen ist die ${[\begin{matrix} \end{matrix}]}^{T} = {[\begin{matrix} \end{matrix}]}^{H}$

Der Rang einer Matrix

#Definition : Rang einer Matrix

Der Rang von $A \in K^{m, n}$ ist die Anzahl der Zeilen ungleich Null in einer Zeilenstufenform von A und wird mit Rang(A) bezeichnet.

Sei $A \in K^{m, n}$ .

Rang $(A) \geq 0$ und (Rang $(A) = 0 \Leftrightarrow A = 0$ )
Rang $(A) \leq m$ , da $A$ nur $m$ Zeilen hat
Rang $A <= n$ , da höchstens eine Stufe pro Spalte existieren kann

#Bemerkung

Der Rang einer Matrix ist die maximale Anzahl linear unabhängiger Zeilen oder - was dasselbe ist - die maximale Anzahl linear unabhängiger Spalten der Matrix.

Unterschiede zwischen Matrizen und Zahlen

Bemerkungen

Seien $A, B$ Matrizen.
1)Im Allgemeinen gilt $A B \neq B A$ , selbst wenn beide Produkte definiert sind.
2) Aus $A \neq 0$ folgt nicht, dass $A$ invertierbar ist. Auch dann nicht, wenn $A$ quadratisch ist.
3) Aus $A B = 0$ folgt im Allgemeinen nicht dass $A = 0$ oder $B = 0$ sein müssen.
4) Ist $A B = 0$ und $A$ invertierbar, so folgt $B = A^{- 1} A B = A^{- 1} 0 = 0$
5) Ist $A B = 0$ und $B$ invertierbar, so folgt genauso, dass $A = 0$ .