Sei $f:I\to \mathbb{R}$ stetig auf einem Intervall $I\subseteq \mathbb{R}$. Sind dann $a,b\in I$ mit $a<b$ und $f(a)<0$ und $f(b)>0$ (oder umgekehrt $f(a)>0$ und $f(b)<0$), dann hat $f$ mindestens eine Nullstelle in $]a,b[$.
bener Genauigkeit $\epsilon$ wählen wir $k$ so groß, dass $(b-a)/2^{k+1}<\epsilon$.

Sei $f:I\to \mathbb{R}$ stetig auf einem Intervall $I\subseteq \mathbb{R}$. Sind dann $a,b\in I$ und $c$ ein Wert zwischen $f(a)$ und $f(b)$, so gibt es mindestens ein $\xi \in [a,b]$ mit $f(\xi )=c$.
!AnaI LinA Ing Skript, p.154

Sei $f:\mathbb{R}\supseteq D\to \mathbb{R}$. Dann heißt $x_0\in D$ eine

1. Maximalstelle (oder Stelle eines Maximums), wenn $f(x_0)\ge f(x)$ für alle $x\in D$ ist. Der Wert $f(x_0)$ ist der größte Funktionswert, den $f$ auf $D$ annimmt, und heißt das Maximum von $f$.
   Bezeichnung: $\underset{x\in D}{max}f(x)$ oder nur $maxf$.

2. Minimalstelle (oder Stelle eines Minimums), wenn $f(x_0)\le f(x)$ für alle $x\in D$ ist. Der Wert $f(x_0)$ ist der kleinste Funktionswert, den $f$ auf $D$ annimmt, und heißt das Minimum von $f$.
   Bezeichnung: $\underset{x\in D}{min}f(x)$ oder nur $minf$.

Ein Extremum bezeichnet ein Maximum oder Minimum und eine Extremalstelle ist eine zugehörige Maximal- oder Minimalstelle.

Sei $f:\mathbb{R}\supseteq D\to \mathbb{R}$.

1. $y^{\ast }\in \mathbb{R}\cup \{+\mathrm{\infty }\}$ ist das Supremum von $f$, geschrieben $y^{\ast }=\underset{x\in D}{sup}f(x)=supf$, wenn gilt:
   (a) $f(x)\le y^{\ast }$ für alle $x\in D$, d.h. $y^{\ast }$ ist eine obere Schranke, und
   (b) es gibt eine Folge $(x_n{)}_n$ in $D$ mit $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}f(x_n)=y^{\ast }$.

2. $y_{\ast }\in \mathbb{R}\cup \{-\mathrm{\infty }\}$ ist das Infimum von $f$, geschrieben $y_{\ast }=\underset{x\in D}{inf}f(x)=inff$, wenn gilt:
   (a) $f(x)\ge y_{\ast }$ für alle $x\in D$, d.h. $y_{\ast }$ ist eine untere Schranke, und
   (b) es gibt eine Folge $(x_n{)}_n$ in $D$ mit $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}f(x_n)=y_{\ast }$.

Dabei gilt für das Supremum und das Infimum: Die Folge $(x_n{)}_n$ braucht nicht zu konvergieren.

Sei $f:[a,b]\to \mathbb{R}$ stetig. Dann gibt es Stellen $x_{min},x_{max}\in [a,b]$ mit

d.h. $f$ nimmt auf $[a,b]$ Minimum und Maximum an.

Insbesondere sind stetige Funktionen auf kompakten Intervallen beschränkt. Kürzer kann man den Satz wie folgt formulieren.

Stetige Funktionen auf kompakten Intervallen besitzen ein Minimum und ein Maximum.