Zahlenfolgen

#Mathematik #MINTgrün #Studium #AnaLinA #Definition

Zahlenfolgen

Eine Folge reeller Zahlen ist eine Abbildung $$ \mathbb{N} \to \mathbb{R}, n \mapsto a_{n}. $$
Schreibweisen: $(a_{n})_{n \in N}$ oder $(a_{0}, a_{1}, a_{1}, \dots) .$
Das Elelement $a_{n}$ heißt $n$ -tes Folgenglied und $n$ ist der zugehörige Index,

Allgemeiner kann man auch Folgen $(a_{n})_{n \geq n_{0}}$ , also $$a_{n_{0}}, a_{n_{0}+1}, a_{n_{0}+2},\dots,$$ für beliebiges $n_{0} \in Z$ betrachten
Genauso können wir Folgen komplexer Zahlen betrachten, bei denen die $a_{n}$ dann komplexe Zahlen sein können.

Beispiele:

Eulerfolge:

a_{n} = {(1 + \frac{1}{n})}^{n} für n \geq 1

Quadratzahlen: $$ (a_{n}) n \in \mathbb{N} = (0,1,4,9,16,15,\dots) = (n^2)_{n \in N} $$
Folge der Primzahlen: $$ (a_{n})_{n \in \mathbb{N}} = (2,3,5,7,11,13,17\dots) $$

Rekursiv definierte Folgen

Wurzelfolge: $$a_{0}>0, a_{n+1} = \frac{1}{2}\left( a_{n} + \frac{2}{a_{n}} \right) \text{ für } n \in \mathbb{N}$$
Fibonaccifolge: Seien $a_{0} = 1, a_{1} = 1$ und $a_{n + 1} = a_{n - 1} + a_{n}$ für $n \geq_{1}$

Beschränkheit und Monotonie von Folgen

#Definition Beschränktheit und Monotonie von folgen. Die Folge

(a_{n})_{n \in N}

heißt

nach unten beschränkt, wenn es eine Zahl $m \in R$ gibt mit $m \leq a_{n}$ für alle $n \in N$ .
nach oben beschränkt, wenn es eine Zahl $M \in R$ gibt mit $a_{n} \leq M$ für alle $n \in N$ .
beschränkt, wenn es eine Zahl $M \in R$ gibt mit $| a_{n} | \leq M$ für alle $n \in N$ .
monoton wachsend, wenn $a_{n} \leq a_{n + 1}$ für alle $n \in N$ .
streng monoton wachsend, wenn $a_{n} < a_{n + 1}$ für alle $n \in N$ .
monoton fallend, wenn $a_{n} \geq a_{n + 1}$ für alle $n \in N$ .
streng monoton fallend, wenn $a_{n} > a_{n + 1}$ für alle $n \in N$ .
Wir sagen kurz (streng) monoton, wenn die Folge (streng) monoton wachsend oder (streng) monoton fallend ist.