Berechnung von Grenzwerten

#Mathematik #MINTgrün #Studium #AnaLinA #Definition

Berechnung von Grenzwerten

Grenzwertsätze

#Satz Grenzwertsätze

Seien $(a_{n})_{n}$ und $(b_{n})_{n}$ konvergente Folgen mit

lim_{n \to \infty} a_{n} = a und lim_{n \to \infty} b_{n} = b .

Dann gilt:

$lim_{n \to \infty} (a_{n} + b_{n}) = lim_{n \to \infty} a_{n} + lim_{n \to \infty} b_{n} = a + b .$

$lim_{n \to \infty} (a_{n} - b_{n}) = lim_{n \to \infty} a_{n} - lim_{n \to \infty} b_{n} = a - b .$

$lim_{n \to \infty} (a_{n} b_{n}) = (lim_{n \to \infty} a_{n}) (lim_{n \to \infty} b_{n}) = a b, insbesondere ist lim_{n \to \infty} (c a_{n}) = a c für c \in R .$

Ist $b \neq 0$ , so gibt es ein $n_{0} \in N$ mit $b_{n} \neq 0$ für alle $n \geq n_{0}$ , und dann ist

lim_{n \to \infty} \frac{a_{n}}{b_{n}} = \frac{lim_{n \to \infty} a_{n}}{lim_{n \to \infty} b_{n}} = \frac{a}{b} .

Grenzwerte und Ungleichungen

Grenzwertbildung erhält schwache Ungleichungen.

#Satz

Sind $(a_{n})_{n}$ und $(b_{n})_{n}$ konvergente Folgen reeller Zahlen mit $a_{n} \leq b_{n}$ für alle $n \in N$ , so gilt $a \leq b$ .

Vorsicht: Aus $a_{n} < b_{n}$ folgt ebenfalls nur $a \leq b$ . Die strikte Ungleichung geht im Grenzwert verloren. Beispiel: $a_{n} = 0 < \frac{1}{n} = b_{n}$ , aber $lim_{n \to \infty} a_{n} = 0 = lim_{n \to \infty} b_{n}$ .
Besonders hilfreich ist das folgende Sandwich-Theorem (oder Drei-Folgen-Satz).

#Satz Sandwich-Theorem

Seien $(a_{n})_{n}, (b_{n})_{n}, (c_{n})_{n}$ drei reelle Folgen mit

a_{n} \leq b_{n} \leq c_{n} für alle n

und mit

lim_{n \to \infty} a_{n} = lim_{n \to \infty} c_{n} = a .

Dann konvergiert auch $(b_{n})_{n}$ gegen $a$ :

lim_{n \to \infty} b_{n} = a .

Besonders oft verwendet man das Sandwich-Theorem für Abschätzungen $0 \leq | a_{n} | \leq b_{n}$ mit $b_{n} \to 0$ . Dann folgt $| a_{n} | \to 0$ und mit $- | a_{n} | \leq a_{n} \leq | a_{n} |$ dann auch $a_{n} \to 0$ .

Nullfolge mal beschränkte Folge ist wieder eine Nullfolge

Monotonie

Ein schwieriges Problem ist es, die Konvergenz einer Folge zu beweisen, wenn man den Grenzwert nicht kennt (und keine Vermutung für ihn hat). Relativ oft kann einem das folgende hinreichende Kriterium helfen.

#Satz Monotoniekriterium

Jede beschränkte und monotone Folge reeller Zahlen ist konvergent.

Beachten Sie: Andersherum ist jede konvergente Folge beschränkt, aber nicht notwendigerweise monoton: zum Beispiel konvergiert ${(\frac{(- 1)^{n}}{n})}_{n \geq 1}$ , ist aber nicht monoton.
Monotone Folgen, die nicht beschränkt sind, sind bestimmt divergent.