Differenzierbarkeit

#Definition Differenzierbarkeit

Sei $f : R \supseteq D \to R$ eine Funktion.

$f$ heißt differenzierbar in $x_{0} \in D$ , falls

f^{'} (x_{0}) := lim_{x \to x_{0}} \frac{f (x) - f (x_{0})}{x - x_{0}}

existiert. $f^{'} (x_{0})$ heißt Ableitung von $f$ in $x_{0}$ .

$f$ heißt differenzierbar auf $D$ , falls $f$ in allen $x_{0} \in D$ differenzierbar ist. Dann heißt die Abbildung

f^{'} : D \to R, x \mapsto f^{'} (x),

die Ableitung von $f$ .

Den Übergang von $f$ zu $f^{'}$ nennt man ableiten oder differenzieren.

Auf gut deutsch: Stetigkeit und an der Stelle, an der die beiden funktionen aufeinander treffen ist die Steigung identisch
Differenzierbarkeit impliziert Stetigkeit: Ist $f$ in $x_{0}$ differenzierbar, so ist $f$ in $x_{0}$ stetig. Andersherum aber nicht (keine Äquivalenz)

Rechenregeln

Linearität: $$ (f(x) + g(x))' = f'(x) + g'(x) $$
Linearität: $$(cf(x))' = cf'(x) \quad \text{für alle } c \in \mathbb{R}.$$
Produktregel: $$(f(x)g(x))' = f'(x)g(x) + f(x)g'(x).$$
Quotientenregel: $$\left(\frac{f(x)}{g(x)}\right)' = \frac{f'(x)g(x) - f(x)g'(x)}{g(x)^2}, \quad \text{falls } g(x) \neq 0.$$Insbesondere $$\left(\frac{1}{g(x)}\right)' = -\frac{g'(x)}{g(x)^2}.$$
Kettenregel: Ist $g : D \to R$ in $x$ differenzierbar und $f : E \to R$ in $g (x)$ differenzierbar, so gilt$$(f(g(x)))' = f'(g(x))g'(x).$$

Ableitung der Umkehrfunktion

#Definition Ableitung der Umkehrfunktion

Seien $I$ und $J$ Intervalle. Sei $f : I \to J$ differenzierbar und umkehrbar mit $f^{'} (x) \neq 0$ für $x \in I$ . Dann ist auch $f^{- 1} : J \to I$ differenzierbar mit

(f^{- 1})^{'} (x) = \frac{1}{f^{'} (f^{- 1} (x))}

Die Differenzierbarkeit von $f^{- 1}$ ist nicht ganz leicht zu zeigen

Nullstellen

!AnaI LinA Ing Skript, p.166

#Definition Newton-Verfahren

Wähle einen Startwert $x_{0}$ „nahe“ der Nullstelle $x^{*}$ von $f$ . Ist $x_{n}$ gegeben, konstruieren wir $x_{n + 1}$ wie folgt: Wir approximieren $f$ in $x_{n}$ durch ihre Tangente,

f (x) \approx f (x_{n}) + f^{'} (x_{n}) (x - x_{n}),

und bestimmen $x_{n + 1}$ als Nullstelle der Tangente, also aus

f (x_{n}) + f^{'} (x_{n}) (x_{n + 1} - x_{n}) = 0.

Auflösen ergibt

x_{n + 1} = x_{n} - \frac{f (x_{n})}{f^{'} (x_{n})}, n = 0, 1, 2, 3, \dots

Dabei setzen wir voraus, dass $f^{'} (x_{n}) \neq 0$ , und auch dass $f^{'} (x^{*}) \neq 0$ . Unter gewissen Voraussetzungen konvergiert die Folge $(x_{n})_{n \in N}$ gegen eine Nullstelle von $f$ .

Example

Beispiel: Sei $f (x) = x^{2} - a$ mit $a > 0$
Die Nullstellen sind $\pm \sqrt{a}$ und es ist $f^{'} (x) = 2 x$ .
Ansatz:

x_{n + 1} = x_{n} - \frac{x_{n}^{2} - a}{2 x_{n}} = \frac{x_{n}^{2} + a}{2 x_{n}} = \frac{1}{2} (x_{n} + \frac{a}{x_{n}}) .

Sei $a = 3$ . Was ist $\sqrt{3}$ ? Wähle $x_{0} = 2$ , dann ist

x_{1} = \frac{1}{2} (2 + \frac{3}{2}) = 1 + \frac{3}{4} = 1.75,

schon die erste Nachkommastelle korrekt. Die weiteren Folgenglieder sind:

\begin{aligned} x_{0} & = 2.000000000000000 \\ x_{1} & = 1. 7500000000000000 \\ x_{2} & = 1.732 142857142857 \\ x_{3} & = 1.7320508 10014727 \\ x_{4} & = 1.732050807568877, \end{aligned}

wobei korrekte Stellen rot markiert sind. Schon nach vier Schritten sind 15 Nachkommastellen korrekt berechnet.

Höhere Ableitungen

#Definition Höhere Ableitungen

Ist $f : R \supseteq D \to R$ auf ganz $D$ differenzierbar, so ist $f^{'} : D \to R$ , $x \mapsto f^{'} (x)$ , wieder eine Funktion. Ist $f^{'}$ differenzierbar, so schreiben wir $f^{″} = (f^{'})^{'}$ für die zweite Ableitung von $f$ .
Wir definieren die $k$ -te Ableitung von $f$ per Induktion:

f^{(0)} := f, f^{(k)} := (f^{(k - 1)})^{'} für k \geq 1.

Die 0-te Ableitung ist die Funktion selbst, $f^{(0)} = f$ , und es sind $f^{(1)} = f^{'}$ , $f^{(2)} = (f^{'})^{'} = f^{″}$ , usw.

Interpretation der zweiten Ableitung:

Geometrische Interpretation:
$f^{″} (x)$ beschreibt die Krümmung des Funktionsgraphen von $f$ in $x$ . Punkte, in denen $f^{″}$ das Vorzeichen ändert, heißen Wendepunkte.
Physikalische Interpretation:
Die zweite Ableitung ist die Ableitung der Geschwindigkeit, also die Beschleunigung, d. h.
$s (t)$ : Weg
$s^{'} (t)$ : Geschwindigkeit
$s^{″} (t)$ : Beschleunigung

nicht jede differenzierbare Funktion ist auch zweimal differenzierbar

Regel von Bernoulli / de L'Hospital

#Definition Regel von Bernoulli/de l'Hospital

Seien $f, g : [a, b [\to R$ differenzierbar, wobei $- \infty \leq a < b \leq \infty$ .

Weiter gelte$$ \lim_{x \to b} f(x) = \lim_{x \to b} g(x) = 0 \quad \text{oder} \quad \lim_{x \to b} g(x) \in {-\infty, \infty}. $$
Falls$$ \lim_{x \to b} \frac{f'(x)}{g'(x)} \in \mathbb{R} \cup {-\infty, \infty} $$
existiert (und $g^{'} (x) \neq 0$ für alle $x$ nahe $b$ ), dann ist

lim_{x \to b} \frac{f (x)}{g (x)} = lim_{x \to b} \frac{f^{'} (x)}{g^{'} (x)} .

Gleiches gilt für Grenzwerte $x \to a$ .

Es kommt vor, dass man den Grenzwert$$ \lim_{x \to b} \frac{f'(x)}{g'(x)} $$auch erst mit der Regel von l'Hospital berechnet, die Regel also mehrfach anwendet.
Bei Grenzwerten „ $0 \cdot \infty$ “ kann man oft umformen und anschließend die Regel von l'Hospital anwenden:$$ f(x)g(x) = \frac{f(x)}{\frac{1}{g(x)}}. $$

Die Exponentialfunktion wächst schneller als jede Potenz