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Distributivität

#Definition #Studium #Informatik #Logik

Lemma (Distributivität). Für alle ϕ,ψ,ϑ∈AL gilt

ψ∨(ϕ∧ϑ)≡(ψ∨ϕ)∧(ψ∨ϑ).
Beweis. Sei eine passende Belegung.

  • Fall 1 [[ψ∨(ϕ∧ϑ)]]β=0.

    • Es gilt also [[ψ]]β=0 und [>[(ϕ∧ϑ)]]β=0.
    • Daraus folgt, dass [[ϕ]]β=0 oder [[ϑ]]β=0.
    • O.B.d.A. sei [[ϕ]]β=0.
    • Dann gilt aber [[ψ∨ϕ]]β=0 und somit [[(ψ∨ϕ)∧(ψ∨ϑ)]]β=0.

  • Fall 2 [[ψ∨(ϕ∧ϑ)]]β=1.

    • Es gilt also [[ψ]]β=1 oder [[(ϕ∧ϑ)]]β=1.
    • Falls [[ψ]]β=1 so folgt [[ψ∨ϕ]]β=1 und [[ψ∨ϑ]]β=1
    • und somit [[(ψ∨ϕ)∧(ψ∨ϑ)]]β=1.
    • Anderenfalls gilt [[ϕ]]β=[[ϑ]]β=1.
    • Dann aber gilt [[ψ∨ϕ]]β=[[ψ∨ϑ]]β=1 und somit [[(ψ∨ϕ)∧(ψ∨ϑ)]]β=1.
      ◻