(1) $V$ endlichdimensional mit Basis $\mathcal{B}=\{b_1,\dots ,b_n\}$
(2) $W$ endlichdimensional mit Basis $\mathcal{C}=\{c_1,\dots ,c_m\}$
Diagramm 1:

Diagramm 2 (Alternativer Pfad):

(Der gestrichelte Pfeil im Originalbild deutet den alternativen Pfad von ${\mathbb{K}}^n$ über $V$ und $W$ nach ${\mathbb{K}}^m$ an)

Es gilt $f_{\mathcal{B}\mathcal{,}\mathcal{C}}=K_{\mathcal{C}}\circ f\circ K_{\mathcal{B}}^{-1}$.

Idee: $f_{\mathcal{B}\mathcal{,}\mathcal{C}}(e_i)=K_{\mathcal{C}}(f(K_{\mathcal{B}}^{-1}(e_i)))=K_{\mathcal{C}}(f(b_i))$ ist die $i$-te Spalte von $f_{\mathcal{B}\mathcal{,}\mathcal{C}}$, wobei $e_i\in {\mathbb{K}}^n$ der $i$-te Standardbasisvektor ist.

Die Matrix

heißt die darstellende Matrix von $f$ bzgl. $\mathcal{B}$ und $\mathcal{C}$ oder auch Matrixdarstellung von $f$ bzgl. $\mathcal{B}$ und $\mathcal{C}$.

Sei $f:V\to W$ linear, wobei $V,W$ endlichdimensionale Vektorräume mit Basen $\mathcal{B}$ und $\mathcal{C}$ sind. Dann gilt für jeden Vektor $v\in V$

also $K_{\mathcal{C}}\circ f=f_{\mathcal{B}\mathcal{,}\mathcal{C}}{K}_{\mathcal{B}}$, d. h.

Sei $V$ ein $\mathbb{K}$-Vektorraum mit den Basen
${\mathcal{B}}_1=\{b_1,\dots ,b_n\}$ und ${\mathcal{B}}_2=\{b_1^{\prime },\dots ,b_n^{\prime }\}$.

Wie rechnet man die Koordinaten für verschiedene Basen ${\mathcal{B}}_1$ und ${\mathcal{B}}_2$ des $\mathbb{K}$-Vektorraums $V$ ineinander um?

Es gilt: $i{d}_{{\mathcal{B}}_1,{\mathcal{B}}_2}=K_{{\mathcal{B}}_2}\circ K_{{\mathcal{B}}_1}^{-1}$.

Es gilt:

ist die $i$-te Spalte von $i{d}_{{\mathcal{B}}_1,{\mathcal{B}}_2}$, wobei $e_i\in {\mathbb{K}}^n$ der $i$-te Standardbasisvektor ist.

Sei $V$ ein endlichdimensionaler Vektorraum mit Basis ${\mathcal{B}}_1$ und Basis ${\mathcal{B}}_2$. Dann gilt für alle $v\in V$

d. h., bei Basiswechsel wird der Koordinatenvektor mit der Matrixdarstellung der Identität multipliziert. $i{d}_{{\mathcal{B}}_1,{\mathcal{B}}_2}$ heißt auch Basiswechselmatrix oder Basisübergangsmatrix oder Transformationsmatrix.

Sei $f:V\to W$ linear, ${\mathcal{B}}_1,{\mathcal{B}}_2$ Basen von $V$ und ${\mathcal{C}}_1,{\mathcal{C}}_2$ Basen von $W$. Dann gilt

d. h., wir erhalten die neue Matrixdarstellung aus der alten, indem wir mit den entsprechenden Basiswechselmatrizen multiplizieren.

Bisher: $f_{{\mathcal{B}}_2,{\mathcal{C}}_2}=K_{{\mathcal{C}}_2}\circ f\circ K_{{\mathcal{B}}_2}^{-1}$
!AnaI LinA Ing Skript, p.128

Sei $f:V\to W$ linear, ${\mathcal{B}}_1,{\mathcal{B}}_2$ Basen von $V$ und ${\mathcal{C}}_1,{\mathcal{C}}_2$ Basen von $W$. Dann gilt

d. h., wir erhalten die neue Matrixdarstellung aus der alten, indem wir mit den entsprechenden Basiswechselmatrizen multiplizieren.