Vandermonde-Matrix

#Studium #Informatik #Definition #WiRe

Die Vandermonde-Matrix $V \in R^{n \times n}$ entsteht beim Ansatz der Polynominterpolation $f (x) = \sum c_{j} x^{j}$ . Sie hat die Form:

V (x_{0}, \dots, x_{n - 1}) = (\begin{matrix} 1 & x_{0} & x_{0}^{2} & \dots & x_{0}^{n - 1} \\ 1 & x_{1} & x_{1}^{2} & \dots & x_{1}^{n - 1} \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋮ \\ 1 & x_{n - 1} & x_{n - 1}^{2} & \dots & x_{n - 1}^{n - 1} \end{matrix})

Das Interpolationspolynom ist eindeutig lösbar, wenn die Determinante $det (V) = \prod_{0 \leq i < j < n} (x_{j} - x_{i}) \neq 0$ ist, also wenn alle $x_{i}$ verschieden sind.