Polynome

#Mathematik #MINTgrün #Studium #AnaLinA #Definition

Polynome

An Polynomen kann man sehr gut die Nullstellen ablesen.
Im Komplexen gibt es immer zwei Nullstellen

#Defnition : Polynom, Grad

Ein Polynom hat folgende Form: $p (z) := a_{0} + a_{1} z + a_{2} z^{n} = \sum_{k = 0}^{n} a_{k} z^{k}$ mit $a_{0}, a_{1}, \dots, a_{n} \in C$ und $n \in N$ . Die $a_{k}$ heißen Koeffizienten des Polynoms. Dadurch wird eine Funktion $p : C \to C$ oder $p : R \to R$ .

Ist der höchste Koeffizient $a_{n} \neq 0$ , so heißt d $n$ der Grad von $p$ , in Zeichen $n = \deg (p)$ . Sind alle Koeffizienten Koeffzienten null, also $p$ das NUllpolynom, so setzt man $\deg (p) = - \infty$

Rechenoperationen

#Definition: Addition

Bei Addition $p + q$ werden die Koefizienten von gleichen Potenzen von $z$ addiert:
$p (z) + q (z) = (2 + 3 z + 4 z^{3}) + (1 + z) = (2 + 1) + (3 + 1) z + 4 z^{3} = 3 + 4 z + 4 z^{3}$

#Definition: Skalarmultiplikation

Bei der Skalarmultiplikation $λ q$ mit $λ \in C$ oder $λ \in R$ werden alle Koeffizienten von $p$ mit $λ$ multipliziert:
$2 p (z) 02 (2 + 3 z + 4 z^{3}) = 4 + 6 z + 8 z^{3}$

#Definition: Multiplikation

Die Multiplikation $p q$ ist genauso einfach, man multipliziert aus (Distributivgesetz) und sortiert nach Potenzen von $z$ :
$p (z) q (z) = (2 + 3 z + 4 z^{3}) (1 + z) = 2 + 2 z + 3 z + 3 z^{3} + 4 z^{3} + 3 z^{4} = 2 + 5 z + 3 z^{3} + 4 z^{4}$

Außerdem gilt bei der Multiplikation die Gradformel:
$\deg (p q) = \deg (p) + \deg (q)$

#Definition: Division

Wenn man zwei Polynome dividiert, so erhält man kein Polynom, sondern eine rationale Funktion. Für diesen Fall gibt es die Polynomdivision mit Rest

Polynomdivision

Sind $p, q$ zwei Polynome mit $q \neq 0$ m so existieren Polynome $r, s$ mit

p = s q + r und \deg (r) < \deg (q)

Dabei ist $r$ der Divisionsrest (auch Rest). Wenn der Rest Null ist ist, dann ist $\frac{p}{q} = s$ ein Polynom und man sagt, dass die Division aufgeht.

Okay, gerne ausführlicher. Hier sind die Definitionen und Sätze aus Vorlesung 8 über Polynome, verständlich erklärt:

Nullstellen

#Definition: Nullstelle

Eine Nullstelle eines Polynoms $p$ ist ein Wert $z_{0}$ , für den $p (z_{0}) = 0$ gilt.

Berechnung: Für Grad 1 und 2 gibt es einfache Formeln (z.B. pq-Formel). Für Grad 3 und 4 existieren komplizierte Formeln. Für Grad 5 und höher gibt es beweisbar keine allgemeine Lösungsformel, die nur mit Grundrechenarten und Wurzelziehen auskommt. Manchmal kann man Nullstellen raten (besonders wenn sie ganzzahlig sind) und dann mittels Polynomdivision den Grad reduzieren. Oft ist man auf numerische Näherungsverfahren angewiesen.

Was sind Nullstellen von Polynomen?

#Satz: Abspalten von Linearfaktoren

Wenn $z_{0}$ eine Nullstelle des Polynoms $p$ (vom Grad $n \geq 1$ ) ist, dann kann man $p (z)$ ohne Rest durch ( $z - z_{0}$ ) teilen. Das Ergebnis ist ein Polynom $s$ vom Grad $n - 1 : p (z) = (z - z_{0} ) s (z)$ . Man kann also für jede Nullstelle einen Faktor ( $z - z_{0} $ ) "abspalten".

#Definition (Vielfachheit einer Nullstelle):

Eine Nullstelle $z o_{0}$ hat die Vielfachheit $k$ , wenn man den Faktor ( $z - z_{0}$ ) genau $k$ -mal vom Polynom abspalten kann, d.h. $p (z) = (z - z_{0})^{k} q (z)$ , wobei $q (z_{0})$ nicht mehr Null ist. Eine Nullstelle mit Vielfachheit $1$ heißt einfach, eine mit Vielfachheit $\geq 2$ heißt mehrfach.

#Satz: Fundamentalsatz der Algebra)

Dies ist ein zentraler Satz! Er besagt, dass jedes Polynom vom Grad $n \geq 1$ (mit komplexen oder reellen Koeffizienten) im Bereich der komplexen Zahlen genau $n$ Nullstellen hat, wenn man jede Nullstelle entsprechend ihrer Vielfachheit zählt. Das bedeutet auch, dass jedes solche Polynom vollständig in $n$ Linearfaktoren der Form $(z - z_{k} )$ zerlegt werden kann: $p (z) = a_{n} (z - z_{1} ) (z - z_{2} ) \dots (z - z_{n} ) = a_{n} \prod_{k = 1}^{n} (z - z_{k})$ .

#Satz Koeffizientenvergleich

Wenn zwei Polynome für alle (oder genügend viele) Werte von z übereinstimmen, dann müssen sie identisch sein, d.h., alle ihre Koeffizienten müssen übereinstimmen.

reelle Polynome

Bei Polynomen, deren Koeffizienten alle reelle Zahlen sind, gilt: Wenn eine komplexe Zahl $z_{0} = α + i β (mit β \neq 0)$ eine Nullstelle ist, dann ist auch ihre konjugiert-komplexe Zahl ${\overset{―}{z}}_{0} = α - i β$ eine Nullstelle. Nicht-reelle Nullstellen treten also immer paarweise auf.

#Satz : Reelle Zerlegung

Aufgrund der obigen Eigenschaft kann jedes reelle Polynom in ein Produkt aus reellen Linearfaktoren ( $z - x_{k}$ ) (entsprechend den reellen Nullstellen) und reellen quadratischen Faktoren der Form ( $(z - α) 2 + β^{2}$ ), die keine reellen Nullstellen haben (entsprechend den Paaren konjugiert-komplexer Nullstellen $z 00 = α \pm i β$ ), zerlegt werden.

Eine direkte Folgerung daraus ist, dass jedes reelle Polynom mit ungeradem Grad mindestens eine reelle Nullstelle haben muss.
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