Seien A, B Mengen. Eine Abbildung $f$ von $A$ nach $B$ ist eine Vorschrift, die jedem Element $x\in A$ genau ein Element $y=f(x)\in B$ zuordnet. Man nennt $A$ den Definitionsbereich und $B$ den $Wertebereich$ von $f$ . Schreibweisen: $f:A\to B,x7\to y$, oder $f:A\to B,f(x)=y$.

Abbildungen werden auch Funktionen genannt.

Sei $f:A\to B$ eine Abbildung.

1. Für $X\subseteq A$ heißt $f(X):=\{f(x)|x\in X\}$ das Bild von $X$ unter $f$. Insbesondere ist $f(X)\subseteq B$.
   $f(A)=f(x)|x\in A$ ist das Bild das Bild von $f$ .
2. Für $Y\subseteq B$ heißt $f^{-1}(Y)=\{x\in A|f(x)\in Y\}$ das Urbild von $Y$ und $f$. Insbesondere ist $f^{-1}(Y)\subseteq A$

Für Abbildungen $f:A\to B$ und $g:B\to C$ heißt die Abbildung $g\circ f:A\to C,x\mapsto g(f(x))$, die Komposition oder Verkettung von $f$ und $g$. (man liet auch "g nach f" oder "g kringel f")

$f$ heißt injektiv, falls für alle $x1,x2\in A$ gilt: $f(x1)=f(x2)\Rightarrow x1=x2$. Anders gesagt: Jeder y-Wert hat nur einen x-Wert.

$f$ heißt surjektiv, falls $f(A)=B$ ist, d.h. falls zu jedem $y\in B$ ein $x\in A$ existiert mit $y=f(x)$. Ist f surjektiv, so wird jeder Punkt y in B erreicht.

$f$ heißt bijektiv, falls $f$ sowohl injektiv, als auch surjektiv ist

Ist $f:A\to B$ injektiv, so gibt es zu jedem $y\in f(A)$ genau ein $x\in A$ mit $f(x)=y$, für das wir $x=f^{-1}(y)$ schreiben. Damit können wir die Umkehrabbildung (oder Inverse) bilden: $f^{-1}:f(A)\to A,y\mapsto f^{-1}(y)$.