Geometrische Interpretation LGS

Ein Lineares Gleichungssystem beschreibt $m$ Hyperebenen im ${\mathbb{R}}^n$.

Interpretation

• Jede Gleichung $a_{i,0}{x}_0+\cdots +a_{i,n-1}{x}_{n-1}=b_i$ ist eine Hyperebene.
• Die Lösungsmenge ist der Schnittpunkt aller Hyperebenen.

Fallunterscheidung

• Hyperebenen schneiden sich nicht → keine Lösung
• schneiden sich in einem Punkt → eindeutige Lösung
• schneiden sich in einer Geraden/Ebene → unendlich viele Lösungen

Dies erklärt geometrisch Rang, Kern und Lösungsstruktur.