Ersetzungslemma

Dieses Lemma ist noch mächtiger. Es erlaubt, Teile einer Formel durch äquivalente Teile zu ersetzen.

Sei $ϕ \in A L$ eine Formel und $ψ$ eine Unterformel von $ϕ$ .
Sei $ϕ^{'}$ die Formel, die man aus $ϕ$ erhält, indem man ein Vorkommen der Unterformel $ψ$ durch eine äquivalente Formel $ψ^{'} \equiv ψ$ ersetzt.

Dann gilt:

ϕ \equiv ϕ^{'}

Beispielanwendung:
Wir können die Implikation umschreiben:

ϕ \leftrightarrow ψ \equiv (ϕ \to ψ) \land (ψ \to ϕ) \equiv (\neg ϕ \lor ψ) \land (\neg ψ \lor ϕ)