Komplexe Zahlen

#Mathematik #Studium #MINTgrün #AnaLinA #Definition

xProblem: aus Potenzen mit geradem Exponenten ist das Ergebnis immer Positiv. Daraus folgt, dass $x^{2} + 1 = 0$ keine Lösung hat. mit der imaginären Einheit $i$ wird eine Lösung dafür möglich. Die komplexen Zahlen (komplex = zusammengesetzt) sind dann Zahlen der Form $z = x + i y$ mit reellen $x$ und $y$ , und die Menge der komplexen Zahlen ist $C := {x + i y | x, y \in R}$

$x^{2} = - 1 in C$ kann gelöst werden: $x_{1} = i und x_{2} = - i$

mit komplexen zahlen kann man genauso rechnen, wie mit reellen Zahlen. Man beachte nur, dass $i^{2} = - 1$ gilt.

komplexe Zahlen sind eine Teilmenge der reellen Zahlen, weil $x + 0 \cdot i = x$ ist reell.

Addition

$(a + i b) + (c + i d) = (a + c) + i (b + d)$

Multiplikation

$(a + i b) \cdot (c + i d) = a c + a i d - i b c + i^{2} b d = (a c + b d) + i (a d + b c)$

Division

$\frac{a + i b}{c + i d} = \frac{(a + i b) (c - i d)}{(c + i d) (c - i d)} = \frac{a c + b d}{c^{2} + d^{2}} + i \frac{b c - a d}{c^{2} + d^{2}} .$

Beispiel
$\frac{4 + 7 i}{3 + 5 i} = \frac{47}{34} + i \frac{1}{34} \approx 1.38235 + 0.02941 i .$

Potenzen

\begin{aligned} i^{2} & = - 1 \\ i^{3} & = i^{2} \cdot i & = (- 1) \cdot i & = - i \\ i^{4} & = i^{2} \cdot i^{2} & = (- 1) \cdot (- 1) & = 1 \\ i^{5} & = i^{4} \cdot i & = 1 \cdot i & = i \\ i^{6} & = i^{4} \cdot i^{2} & = 1 \cdot (- 1) & = - 1 \\ \dots \\ i^{101} & = i^{1} 00 \cdot i & = (i^{4})^{25} \cdot i & = 1^{25} \cdot i & = i \end{aligned}

Gaußsche Zahlenebene

Die reelle Achse ist der Zahlenstrahl, wie wir ihn bereits kennen. Wenn man daraus ein kartesisches Koordinatensystem macht kann man auf die y-Achse die imaginären Zahlen legen. Dann sind die komplexen Zahlen visualisiert.
!AnaI LinA Ing Skript, p.28
Die Addition von komplexen Zahlen entsprechen in der Gaußschen Zahlenebene der Addition von Vektoren in der Ebene
!AnaI LinA Ing Skript, p.29

Realteil, Imaginärteil, Konjugierte, Absolutbetrag

Sei $z = x + i y \in C mit x, y \in R$

$Re (z) := x$ heißt Realteil von $z$ ;
$Im (z) = y \in R$ heißt der Imaginärteil von $z$ ;
$\overset{―}{z} := x - i y$ heißt die zu $z$ (komplex) Konjugierte;
$| z | := \sqrt{x^{2} + y^{2}} \in R$ heißt der Absolutbetrag oder kurz Betrag von z.

Sei $z = x + i y \in C$ mit $x, y \in R$ . Für die Konjugation gelten folgende Rechenregeln:

$\overset{―}{\overset{―}{z}} = z$ ,
$z \overset{―}{z} = x^{2} + y^{2} = | z |^{2}$ ,
$\overset{―}{z_{1} + z_{2}} = \overset{―}{z_{1}} + \overset{―}{z_{2}}$ ,
$\overset{―}{z_{1} z_{2}} = \overset{―}{z_{1}} \cdot \overset{―}{z_{2}}$ ,
$\overset{―}{(\frac{1}{z})} = \frac{1}{\overset{―}{z}} für z \neq 0$ ,
$Re (z) = \frac{1}{2} (z + \overset{―}{z})$ ,
$Im (z) = \frac{1}{2 i} (z - \overset{―}{z})$ .

Geometrische Interpretation des Betrags

Der Betrag $| z | = \sqrt{x^{2} + y^{2}}$ ist der Abstand zwischen $z = x + i y$ und $0$ in der Gaußschen Zahlenebene:
!AnaI LinA Ing Skript, p.30

Rechenregeln für den Betrag

für komplexe Zahlen $z, z_{1}, z_{2}$ gilt:

$| z | = \sqrt{z \overset{―}{z}} \geq 0$
$| z_{1} z_{2} | = | z_{1} | \cdot | z_{2} |$
$| \frac{z_{1}}{z_{2}} | = \frac{| z_{1} |}{| z_{2} |}$
Dreiecksungleichung: $| z_{1} + z_{2} | \leq | z_{1} | + | z_{2} |$
!AnaI LinA Ing Skript, p.31

Polardarstellung

#Deifnition: Polardarstellung

In der Polardarstellung wird eine Komplexe Zahl $z$ durch den Abstand vom Ursprung $r = | z | = \sqrt{x^{2} + y^{2}}$ und durch den Winkel $φ$ angegeben. Die komplexe Zahl $z$ lässt sich also wie folgt darstellen: $z = r (\cos (φ) + i \sin (φ))$

!AnaI LinA Ing Skript, p.55

Berechnung der x- und y-Koordinate von $z$

\begin{aligned} x & = r \cos (φ) \\ y & = r \sin (φ) \end{aligned}

Dabei ist ist $r$ der Radius. Insbesondere gilt $r = | z | = \sqrt{x^{2} + y^{2}}$

$φ$ . Was ist das?

$φ = \arg (z)$
$\arg (z)$ ist der Winkel zwischen z und positiven reellen Achse. Für $z = 0$ ist das Argument nicht bestimmt.

Berechnung von $φ$

Um den Winkel $φ$ zu berechnen teilen wir $y$ durch $x$ : $\frac{y}{x} = \frac{\sin (φ)}{\cos (φ)} = \tan (φ)$ . Für $x = 0$ ist $φ = \frac{π}{2}$ und $φ = - \frac{π}{2}$ , falls $y < 0$

Der Tangens ist auf $R ∖ {\frac{π}{2} + k π | k \in Z}$ definiert und $π$ -Periodisch und nicht injektiv. In dem Intervall $] - \frac{π}{2}, \frac{π}{2} [$ ist der Tangens hingegen injektiv und damit gibt es auch eine Umkehrfunktion, den Arcus Tangens, kurz $\arctan$ .

\arctan = \tan^{- 1} : R \to] - \frac{π}{2}, \frac{π}{2} [

$φ = \arctan (\frac{y}{x}) \in] - \frac{π}{2}, \frac{π}{2} [$ , falls z auf der Rechten Seite des Kreises ist $Re (z) > 0$ . Für $z$ auf der linken Seite $Re (z) < 0$ müssen wir $π$ addieren. Insgesamt erhalten wir für $z = x + i y \neq 0$ somit $z = r (\cos (φ) + i \sin (φ))$ mit $r = \sqrt{x^{2} + y^{2}}$

φ = {\begin{cases} \arctan (\frac{y}{x}) & falls x > 0 \\ \arctan (\frac{y}{x}) + π & falls x < 0 \\ \frac{π}{2} & falls x = 0 und y > 0 \\ - \frac{π}{2} & falls x = 0 und y < 0 \end{cases}

Regeln für Multiplikation

Bei der Multiplikation komplexer Zahlen

multiplizieren sich die Beträge
addieren sich die Argumente

Eulerdarstellung

#Definition : Eulerformel

$e^{i φ} = \cos (φ) + i \sin (φ)$

#Definition : Eulerdarstellung

$z = x + i y = r (\cos (φ) + i \sin (φ)) = r e^{i φ}$
Die Eulerdarstellung stellt eine Verbindung zwischen der (komplexen) Exponentialfunktion und Sinus und Cosinus her. Es gelten die üblichen Potenzgesetze

Die Eulerdarstellung ist insbesondere bei der Berechnung von Potenzen sehr hilfreich: $z^{42} = (r e^{i φ})^{42} = r^{42} e^{i 42 φ}$