Partialbruchzerlegung

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Partialbruchzerlegung

Sei $f (z) = p (z) q (z)$ eine rationale Funktion. Hat $q$ die einfachen Nullstellen $z_{1}, \dots, z_{n}$ , also

q (z)) a_{n} \prod_{k = 1}^{n} (z - z_{k}) = a_{n} (z - z_{1}) (z - z_{2}) \dots (z - z_{k})

so hat $f$ die Partialbruchzerlegung

f (z) = s (z) + \sum_{k = 1}^{n} \frac{A_{k}}{z - z_{k}} = s (z) + \frac{A_{1}}{z - z_{1}} + \dots + \frac{A_{n}}{z - z_{n}}

Falls es sich um eine mehrfache Nullstelle handelt wird der Bruch mit der Vielfachen Nullstelle im Nenner mit der Vielfachheit potenziert.

Schritt 1: Polynomdivision

Fall:
Wenn $\deg (p) \geq \deg (q)$ gilt, dann muss man eine Polynomdivision durchführen. Dann gilt: $p (z) = s (z) q (z) + r (z)$ mit $\deg (r) < \deg (q)$ .
Fall
Falls $\deg (p) < \deg (q)$ ist $s (z) = 0$ und $r (z) = p (z)$

Schritt 2: Zerlegung des Nenners

Bestimme die Nullstelle des Nenners $q (z)$ und zerlege $q$ so weit wie möglich in Faktoren.

Für eine komplexe PBZ in Linearfaktoren
Für eine reelle PBZ in Linearfaktoren und quadratische Faktoren ohne reelle Nullstellen.
Anschließend werden gleiche Faktoren zu Potenzen zusammengefasst.

Schritt 3: Ansatz zur Partialbruchzerlegung

Der Ansatz bestimmt sich allein aus den Faktoren des Nenners.
Die gesamte Anzahl der Koeffizienten in den Ansatztermen stimmt mit dem Grad des Namens überein.

Faktor des Nenners	Ansatzterm
$z - z_{0}$	$\frac{A}{z - z_{0}}$
$(z - z_{0})^{m}$	$\frac{A_{1}}{z - z_{0}} + \frac{A_{2}}{(z - z_{0})^{2}} + \dots + \frac{A_{k}}{(z - z_{0})^{m}}$
$(z - a)^{2} + b^{2}$	$\frac{C z + D}{(z - a)^{2} + b^{2}}$
$((z - a)^{2} + b^{2})^{m}$	$\frac{C_{1} z + D_{1}}{(z - a)^{2} + b^{2}} + \frac{C_{2} z + D_{2}}{((z - a)^{2} + b^{2})^{2}} + \dots + \frac{C_{m} z + D_{m}}{((z - a)^{2} + b^{2})^{m}}$

Schritt 4: Koeffizienten bestimmen

zwei Möglichkeiten

Koeffizientenvergleich (immer möglich)
Zuhaltemethode: Gibt die Koeffizienten von einfachen Polstellen bzw. den Koeffizient bei der höchsten Potenz eines Pols. Bestimme verbleibenden Koeffizienten durch Koeffizientenvergleich oder durch Einsetzen weiterer Zahlen.

Zuhaltemethode
- nenner durch Linearfaktoren ersetzen
- Um A zu bestimmen setzt man es gleich mit der Funktion. In der Funktion muss man x mit der Nullstelle des Linearfaktors ersetzen
- Den Linearfaktor (der eigentlich null wird) lässt man weg bzw, hält ihn zu.

$\frac{A_{1} z + B_{1}}{(a z^{2} + b z + c)} + \frac{A_{2} z + B_{2}}{(a z^{2} + b z + c)^{2}} + . . . + \frac{A_{k} z + B_{k}}{(a z^{2} + b z + c)^{k}}$