Komposition

Seien $A,B,C$ drei beliebige Mengen. Seien $P:(A,B)$ und $Q:(B,C)$ zwei beliebige Relationen.
Dann ist die Komposition $P;Q:(A,C)$ definiert wie folgt:

Notation

Aus Bequemlichkeit schreiben wir oft $PQ$ anstelle von $P;Q$.
Aus Gründen der Konsistenz mit dem Kompositionsbegriff für Abbildungen (siehe §8) erlauben wir auch $Q\circ P\triangleq P;Q$ als Notation.

Eigenschaften der Komposition

Seien $A,B,C$ drei beliebige Mengen.
Seien $P:(A,B)$ und $Q:(B,C)$ zwei beliebige Relationen.
Dann gilt:

1. Sind $P$ und $Q$ beide linkstotal, so ist das auch $PQ$.
2. Sind $P$ und $Q$ beide rechtstotal, so ist das auch $PQ$.
3. Sind $P$ und $Q$ beide linkseindeutig, so ist das auch $PQ$.
4. Sind $P$ und $Q$ beide rechtseindeutig, so ist das auch $PQ$.

Komposition und Umkehrrelation

Seien $A,B,C$ drei beliebige Mengen.
Seien $P:(A,B)$ und $Q:(B,C)$ zwei beliebige Relationen.
Dann gilt:
5. $(PQ{)}^{-1}=Q^{-1}{P}^{-1}$
6. $(Q\circ P{)}^{-1}=P^{-1}\circ Q^{-1}$

Links

• FoG-2526-FS_v7.pdf
• Relation
• Umkehrrelation