Ungleichungen

#Defintion Ungleichung: Gleichungen, wobei die beiden Ausdrücke nicht gleich sind, sondern in einer Größenrelation zueinander stehen. Größenrelationen sind $<,\le ,\ne ,>,\ge$

Anordnungsaxiome

Für alle $w,x,y,z\in \mathbb{R}$ gelten folgende Aussagen:

(O1) Es gilt genau einer der drei Fälle: $x<y$, $x=y$ oder $x>y$. (Trichotomie)
(O2) Sind $x<y$ und $y<z$, so folgt $x<z$. (Transitivität)
(O3) Sind $x<y$ und $w\le z$, so folgt $x+w<y+z$. (1. Monotoniegesetz)
(O4) Sind $x<y$ und $z>0$, so folgt $zx<zy$. (2. Monotoniegesetz)

Die Axiome (O2)–(O4) gelten auch, wenn überall $<$ durch $\le$ ersetzt wird.

Multiplikation mit einer negativen Zahl ändert die ”Richtung“ einer Ungleichung: Ist $x<y$ und $a<0$, so ist $ax>ay$