Wahrheitswertfunktion

Per Induktion über die Struktur der Formeln in $AL$ definieren wir eine Funktion $[[\cdot ]{]}^{\beta }$, die jeder Formel $\phi \in AL$ und jeder zu $\phi$ passenden Belegung $\beta$ einen Wahrheitswert $[[\phi ]{]}^{\beta }\in \{0,1\}$ zuordnet.

Belegung: $\beta :AVar\to \{0,1\}$
passend für $\phi$: $\mathrm{var}(\phi )\subseteq \mathrm{def}(\beta )$

Induktionsbasis

• $[[\mathrm{\perp }]{]}^{\beta }:=0$
• $[[\mathrm{\top }]{]}^{\beta }:=1$
• Für alle $X\in AVar$: $[[X]{]}^{\beta }:=\beta (X)$

Induktionsschritt (wie man größere Formeln aus kleineren berechnet):

• $[[\mathrm{\neg }\phi ]{]}^{\beta }:=1-[[\phi ]{]}^{\beta }$
• $[[(\phi \wedge \psi )]{]}^{\beta }:=min\{[[\phi ]{]}^{\beta },[[\psi ]{]}^{\beta }\}$
• $[[(\phi \vee \psi )]{]}^{\beta }:=max\{[[\phi ]{]}^{\beta },[[\psi ]{]}^{\beta }\}$
• $$[[(\phi \to \psi )]{]}^{\beta }:=\{\begin{array}{ll}1& \text{wenn }[[\phi ]{]}^{\beta }=0\text{ oder }[[\psi ]{]}^{\beta }=1\\ 0& \text{sonst}\end{array}$$
• $[[(\phi \leftrightarrow \psi )]{]}^{\beta }=1⟺[[\phi ]{]}^{\beta }=[[\psi ]{]}^{\beta }$