Basis und Dimension

#MINTgrün #Studium #Mathematik #AnaLinA #Definition

Basis und Dimension

Sei $V \neq {0}$ ein $K$ -Vektorraum. Ein endliches linear unabhängiges Erzeugendensystem ${v_{1}, \dots, v_{n}}$ von $V$ heißt Basis von $V$ .
Ausführlich bedeutet das: ${v_{1}, \dots, v_{n}}$ heißt Basis von $V$ , falls gilt

$v_{1}, \dots, v_{n}$ sind linear unabhängig
${v_{1}, \dots, v_{n}}$ ist ein Erzeugendensystem: $span {v_{1}, \dots, v_{n}} = V$ .

Für den Nullvektorraum $V = {0}$ definiert man die leere Menge als Basis.

Basen werden wie Mengen geschrieben. Die Reihenfolge muss jedoch beibehalten werden.
Allgemein Gilt:

Sie $\vec{e_{i}} = [\begin{matrix} 0 \\ ⋮ \\ 0 \\ 1 \\ 0 \\ ⋮ \\ 0 \end{matrix}]$ . Dann ist die $1$ in der $i$ -ten Zeile
${\vec{e_{1}}, \dots, \vec{r_{n}}} = {[\begin{matrix} 1 \\ 0 \\ ⋮ \\ ⋮ \\ 0 \end{matrix}], [\begin{matrix} 0 \\ 1 \\ 0 \\ ⋮ \\ 0 \end{matrix}], \dots, [\begin{matrix} 0 \\ ⋮ \\ ⋮ \\ 0 \\ 1 \end{matrix}]}$ ist eine Basis von $K^{n}$ . Insbesondere ist das die Standardbasis

#Satz

Alle Basen eines Vektorraums haben die gleiche Anzahl an Elementen.

#Definition : Dimension

Die Dimension eines Vektorraums ist die Anzahl der Elemente einer Basis von $V$ und wird mit $\dim (V)$ bezeichnet.

Hat $V$ eine endliche Basis, so ist $\dim (V) \in N$ , und wir nennen $V$ endlichdimensional .

Hat $V$ keine endliche Basis, so schreiben wir $\dim (V) = \infty$ und nennen $V$ unendlichdimensinal.

#Satz Sei

V

ein Vektorraum mit Dimension

n \in N, n \geq 1

. Dann gilt:

Sind $v_{1}, \dots, v_{n} \in V$ linear unabhängig, so ist ${v_{1}, \dots, v_{n}}$ eine Basis von $V$ .
Ist ${v_{1}, \dots, v_{n}}$ ein Erzeugendensystem von $V$ , so ist ${v_{1}, \dots, v_{n}}$ eine Basis von $V$ .

Konstruktion von Basen

Ist ${v_{1}, \dots, v_{k}}$ ein Erzeugendensystem aber sind die Vektoren nicht linear unabhängig, so entferne so lange geeignete Vektoren, bis eine Basis übrig bleibt.
Sind $v_{1}, \dots, v_{k}$ linear unabhängig, aber ${v_{1}, \dots, v_{k}}$ kein Erzeugendensystem, so nimm geeignete Vektoren $v_{k + 1} \notin span {v_{1}, \dots, v_{k}}$ hinzu, bis eine Basis von V entsteht (falls $\dim (V) < \infty$ ).

Koordinaten und Koordinatenvektor

#Satz : Koordinatenvektor

Sei $V$ ein $K$ -Vektorraum mit Basis $B = {v_{1}, \dots, v_{n}}$ . Dann lässt sich jeder Vektor $v \in V$ schreiben als

v = \sum_{j = 1}^{n} λ_{j} v_{j} = λ_{1} v_{1} + λ_{2} v_{2} + \dots + λ_{n} v_{n},

wobei die Koeffizienten $λ_{1}, \dots, λ_{n} \in K$ eindeutig bestimmt sind und Koordinaten von $v$ heißen. Der Vektor

{\vec{v}}_{B} = [\begin{matrix} λ_{1} \\ ⋮ \\ λ_{n} \end{matrix}] \in K^{n}

heißt der Koordinatenvektor von $v$ bzgl. $B$ .

Zusammenfassung


Linear unabhängiges System, aber kein Erzeugendensystem	Basis	Erzeugendensystem, aber nicht linear unabhängig
Zu wenige Vektoren	Passende Anzahl an Vektoren	Zu viele Vektoren
Nicht alle Vektoren aus $V$ sind darstellbar als Linearkombination	Alle Vektoren aus $V$ sind eindeutig darstellbar als Linearkombination	Alle Vektoren aus $V$ sind mehrdeutig darstellbar als Linearkombination