2.1 Produktregel

Beispiel: Fahrradhersteller

• 3 Gangschaltung
• 4 Rahmen
• 2 Reifen
• 5 Bremsen
• 7 Sattel

? Anzahl möglicher Kombinationen
$N=3\cdot 4\cdot 2\cdot 5\cdot 7$
$N=840$ Modelle

Allgemein

$$N=n_1\cdot n_2\cdot n_3\dots n_k$$

2.2 Geordnete Stichprobe mit zurücklegen

Beispiel: Fahrradschloss

• Anzahl Ringe $k=4$
• Zahlen pro Ring $n=10$

$N={10}^4$
$N=10.000$

• Reihenfolge muss beachtet werden (geordnet)
• Wiederholungen sind möglich (mit zurücklegen)

Allgemein

$N=n^k$

Beispiel: Totoschein

1.	1	0	2
2.	1	0	2
3.	1	0	2
4.	1	0	2
5.	1	0	2
6.	1	0	2
7.	1	0	2
8.	1	0	2
9.	1	0	2
10.	1	0	2
12.	1	0	2
13.	1	0	2

6. FCB 0 Werder

$n=3$ $k=13$
$N=3^{13}$
$N=1.594.323$

2.3 Geordnete Stichprobe ohne zurücklegen

Beispiel: Klassenfoto

• Reihenfolge muss beachtet werden
• keine Wiederholung

$n=31$ Schüler

$N=31!$
$N=8,2\cdot {10}^{33}$

• Gruppenfotos 4 pro Foto

$N=31\cdot 30\cdot 29\cdot 28$

$N=\frac{31!}{27!}=\frac{31!}{(31-4)!}$

$N=755.160$

Allgemein

$$N=\frac{n!}{(n-k)!}$$$$0!=1$$

2.4 Ungeordnet ohne zurücklegen

Beispiel: Delegation „Abbruch“ mit 5 Schülern

• geordnet wäre : $N_g=\frac{31!}{(31-5)!}$

5 Schüler
$\begin{array}{ccccc}A& B& C& D& E\\ A& B& C& E& D\\ & & ⋮& & \end{array}\}Doppelte:5!$
$⟹$ Ungeordnet: $N=\frac{31!}{(31-5)!\cdot 5!}$
$N=169.911$

Allgemein

$$\begin{array}{rl}& N=\frac{n!}{(n-k)!\cdot k!}\\ & N=\left[\begin{array}{c}n\\ k\end{array}\right]\end{array}$$

Binomialkoeffizient $n$ über $k$

Taschenrechner $31\text{ nCr }5$

2.5 Lottomodell

Beispiel: ($6$ aus $49$)

• Gesamtzahl an möglichen Tipps:
  • $N=\left[\begin{array}{c}49\\ 6\end{array}\right]$
    • ungeordnet
    • ohne Zurücklegen
  • $N=13.983.816$
• Gesucht: Wahrscheinlichkeit, dass genau 4 Richtige auf dem Tipp sind
  $⟹X$-Anzahl Richtiger Tipps
  • $P(X=4)=\text{ ?}$
• Anzahl der Tipps mit 4 Richtigen
  4 von 6:
  $\underbrace{N_R=\left(\begin{array}{l}6\\ 4\end{array}\right)N_N=\left(\begin{array}{c}43\\ 2\end{array}\right)}$
  $N_R=\left(\begin{array}{l}6\\ 4\end{array}\right)\cdot \left(\begin{array}{c}43\\ 2\end{array}\right)$
  $⟹P(X=4)=\frac{\left[\begin{array}{c}6\\ 4\end{array}\right]\cdot \left[\begin{array}{c}43\\ 2\end{array}\right]}{\left[\begin{array}{c}49\\ 6\end{array}\right]}$
  $⟹P(X=4)=9,68\cdot {10}^{-4}$
  $⟹P(X=4)=0,097\mathrm{\%}$

Allgemein

• Voraussetzung:
  • ungeordnet
  • ohne Zurücklegen
    (Trefferwahrscheinlichkeiten ändern sich)

$$\begin{array}{rl}P(X=k)& =\frac{\left(\begin{array}{c}M\\ k\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}N-M\\ n-k\end{array}\right)}{\left(\begin{array}{c}N\\ n\end{array}\right)}\end{array}$$

• $N$ - Gesamtzahl
• $n$ - Größe Stichprobe
• $M$ - mögliche Treffer (Gesamt)
• $k$ - Anzahl Treffer