Elementare Funktionen

#MINTgrün #Mathematik #Studium #AnaLinA #Definition

Elementare Funktionen

Exponentialfunktion

#Definition : Exponentialfunktion

$\exp : R \to R$ . Wir schreiben auch $\exp (x) = e^{x}$
!AnaI LinA Ing Skript, p.47

\exp (x) := \sum_{k = 0}^{\infty} \frac{x^{k}}{k!} := lim_{n \to \infty} \sum_{k = 0}^{n} \frac{x^{k}}{k!} .

Die Zahl $e := \exp (1)$ heißt die Eulersche Zahl: $e \approx 2.71828182845904$

Eigenschaften der Exponentialfunktion

$\exp (x)$ ist differenzierbar mit $(\exp (x))' = \exp (x)$
$\exp (0) = lim_{n \to \infty} \sum_{k = 0}^{n} \frac{0^{k}}{k!} = lim_{n \to \infty} 1 = 1.$
Funktionalgleichung: $\exp (x_{1} + x_{2}) = \exp (x_{1}) \exp (x_{2}) .$
$\frac{1}{\exp (x)} = \exp (- x) .$
$\exp (x) > 0$ für alle $x \in R$ .
$\exp$ ist streng monoton wachsend, denn $\exp^{'} (x) = \exp (x) > 0$ für alle $x \in R$ .
$\exp : R \to] 0, \infty [$
$\exp (x)$ ist Bijektiv: Injektiv (da streng monoton wachsend) und surjektiv (wegen $lim_{x \to - \infty} \exp (x) = 0$ und $lim_{x \to + \infty} \exp (x) = + \infty$ und dem Zwischenwertsatz), also bijektiv und damit umkehrbar.

Logarithmus

#Definition : natürlicher Logarithmus

Der natürliche Logarithmus ist die Umkehrfunktion der Exponentialfunktion und wird an der Winkelhalbierenden $y = x$ gespiegelt.
$\ln (e^{x}) = x$ für alle $x \in R$ , $e^{\ln (x)} = x$ für alle $x \in R$
!AnaI LinA Ing Skript, p.48

Eigenschaften des natürlichen Logarithmus

$\ln (1) = 0$
Funktionalgleichung: $\ln (x y) = \ln (x) + \ln (y)$ für alle $x, y > 0$
$\ln (\frac{1}{x}) = - \ln (x)$ für alle $x > 0$
$\ln (\frac{x}{y}) = \ln (x) - \ln (y)$ für alle $x, y > 0$
$\ln (x^{n}) = n \ln (x)$ für alle $x > 0$ und $n \in Z$
$\ln$ ist streng monoton wachsend und $lim_{n \to \infty} \ln (x) = - \infty$ und $lim_{n \to \infty} \ln (x) = \infty$
$\ln :] 0, \infty [\to R$ ist bijektiv
$\ln^{'} (x) = \frac{1}{x}$ für alle $x \in R$

Logarithmus zur Basis a

#Definition Logarithmus zur Basis a

Für $a > 0$ , $a \neq 1$ , ist $a^{x}$ somit injektiv und damit umkehrbar. Die Umkehrfunktion ist der Logarithmus zur Basis a:

\log_{a} :] 0, \infty [\to R, x \mapsto \log_{a} (x) .

Es ist per Definition

a^{y} = x ⟺ \log_{a} (x) = y .

Für $a = e$ ist $\log_{e} (x) = \ln (x)$ der natürliche Logarithmus.
Der Logarithmus zur Basis $a$ lässt sich durch den natürlichen Logarithmus darstellen: Aus $a^{\log_{a} (x)} = x$ folgt

\ln (x) = \ln (a^{\log_{a} (x)}) = \log_{a} (x) \ln (a),

also

\log_{a} (x) = \frac{\ln (x)}{\ln (a)} .

Daher gelten für $\log_{a}$ die gleichen Rechenregeln wie für $\ln$ .

!AnaI LinA Ing Skript, p.198

#Satz Rechenregeln für den Logarithmus zur Basis a). Für

a, x, y > 0

gilt

$\log_{a} (x y) = \log_{a} (x) + \log_{a} (y)$ ,
$\log_{a} (x^{b}) = b \log_{a} (x)$ ,
$\log_{a} (\frac{1}{x}) = - \log_{a} (x)$ ,
$\log_{a} (\frac{x}{y}) = \log_{a} (x) - \log_{a} (y)$ .

Allgemeine Potenzfunktion

#Definition allgemeine Potenz

Für $a > 0$ und $b \in R$ definieren wir

a^{b} := \exp (b \ln (a)) .

Dabei heißt a Basis und b Exponent. Das ergibt insbesondere zwei Funktionen:

die allgemeine Potenz $a^{x}$ ,
die Potenzfunktion $x^{b}$ .

Für die allgemeine Potenz gelten ähnliche Rechenregeln wie für die Exponentialfunktion.

Rechenregeln für die allgemeine Potenz

Für reelles $a > 0$ , für alle $x, y \in R$ und für alle $n \in N$ gilt:

$x \mapsto a^{x}$ ist stetig und beliebig oft differenzierbar,
$a^{0} = 1$ ,
$a^{x + y} = a^{x} a^{y}$ ,
$a^{- x} = \frac{1}{a^{x}}$ ,
$a^{x} > 0$ ,
$\ln (a^{x}) = x \ln (a)$ ,
$(a^{x})^{y} = a^{x y}$ ,
$a^{n} = \underset{n mal}{\underset{⏟}{a \cdot \dots \cdot a}}$ ,
$a^{\frac{1}{n}} = \sqrt[n]{a}$ , wobei $n \in N ∖ {0}$ ,
$a^{\frac{p}{q}} = \sqrt[q]{a^{p}}$ , wobei $p \in Z$ und $q \in N ∖ {0}$ ,
$e^{x} = \exp (x)$ .

#Satz

Für $a > 0$ ist die Funktion $a^{x}$ auf ganz $R$ differenzierbar mit

(a^{x})^{'} = \ln (a) a^{x} .

Insbesondere gilt:

(1) Für $a > 1$ ist $\ln (a) > 0$ , also $a^{x}$ streng monoton wachsend.
(2) Für $a = 1$ ist $\ln (a) = 0$ , also $a^{x} = 1$ konstant.
(3) Für $a < 1$ ist $\ln (a) < 0$ , also $a^{x}$ streng monoton fallend.

Für $b \in R$ und $x > 0$ ist

(x^{b})^{'} = b x^{b - 1} .

Insbesondere ist

(\sqrt{x})^{'} = \frac{1}{2 \sqrt{x}} .

Für $x > 0$ ist

(x^{x})^{'} = x^{x} (\ln (x) + 1) .

!AnaI LinA Ing Skript, p.197

#Definition Komplexe Exponentialfunktion

Die Exponentialreihe konvergiert für alle komplexen Zahlen z:

\exp (z) = \sum_{k = 0}^{\infty} \frac{z^{k}}{k!} = 1 + z + \frac{z^{2}}{2} + \frac{z^{3}}{3!} + \dots,

wodurch die komplexe Exponentialfunktion $\exp : C \to C$ definiert wird. Für $z = x + i y$ mit reellen $x, y$ gilt allgemein

\begin{aligned} \exp (z) & = \exp (x + i y) = \exp (x) \exp (i y) \\ = \exp (x) (\cos (y) + i \sin (y)) . \end{aligned}

Die Komplexe Exponentialfunktion ist nicht injektiv

#Definition Komplexer Logarithmus

Für $z = | z | e^{i φ} \neq 0$ definiert man

\log (z) := \ln (| z |) + i φ, φ = \arg (z),

wobei $φ \in [0, 2 π [$ .

Mehr dazu in „Analysis III für Ingenieurwissenschaften“.

2025-06-19 AnaLinA learning

Elementare Funktionen

\begin{aligned} \cos (x + 2 π) & = \cos (x) \cos (2 π) - \sin (x) \sin (2 π) = \cos (x), \\ \sin (x + 2 π) & = \sin (x) \cos (2 π) + \cos (x) \sin (2 π) = \sin (x), \\ \cos (x + π) & = \cos (x) \cos (π) - \sin (x) \sin (π) = - \cos (x), \\ \sin (x + π) & = \sin (x) \cos (π) + \cos (x) \sin (π) = - \sin (x) . \end{aligned}

Sinus und Cosinus sind also $2 π$ periodisch
Tangens & Cotangens

#Definition Tangens und Cotangens

Der Tangens ist

\tan (x) = \frac{\sin (x)}{\cos (x)}, x \neq \frac{π}{2} + k π, k \in Z,

und ist in $R$ außer in den Nullstellen des Cosinus definiert. Der Cotanges ist

\cot (x) = \frac{\cos (x)}{\sin (x)}, x \neq k π, k \in Z .

Tangens: !AnaI LinA Ing Skript, p.200
Cotangens: !AnaI LinA Ing Skript, p.200
Geometrische Interpretation: !AnaI LinA Ing Skript, p.201
Ableitung Tangens

\begin{aligned} \tan^{'} (x) & = {(\frac{\sin (x)}{\cos (x)})}^{'} = \frac{\sin^{'} (x) \cos (x) - \sin (x) \cos^{'} (x)}{\cos (x)^{2}} \\ = \frac{\cos (x) \cos (x) + \sin (x) \sin (x)}{\cos (x)^{2}} = \frac{\cos (x)^{2} + \sin (x)^{2}}{\cos (x)^{2}} \\ = {\begin{cases} \frac{1}{\cos (x)^{2}} \\ 1 + \tan (x)^{2} \end{cases} . \end{aligned}

Arcusfunktionen

$\sin (x), \cos (x), \tan (x) und \cot (x)$ sind alles Winkelfunktionen und nicht injektiv. Sie sind aber periodisch. Innerhalb von Teilintervallen, genauer innerhalb der einzelnen Iterationen sind diese Funktionen hingegen Injektiv. zu diesen eingeschränkten Funktionen gibt es dann Umkehrfunktionen, die sogenannten Arkus-Funktionen.
Ein Teilintervall von Sinus, der injektiv ist (blau markiert): !AnaI LinA Ing Skript, p.201
wenn man diese Sinus-Funktion an der winkelhalbierenden spiegelt erhält man die Umkehrfunktion:!200
Sinus ist auf $[- \frac{π}{2}, \frac{π}{2}]$ streng monoton wachsend, also Injektiv. Die Umkehrfunktion $\arcsin : [- 1, 1] \to [- \frac{π}{2}, \frac{π}{2}]$ heißt Arcussinus !AnaI LinA Ing Skript, p.202
Cosinus ist auf $[0, π]$ streng monoton fallend. Die Umkehrfunktion $\arccos : [- 1, 1] \to [0, π]$ heißt Arcuscosinus!AnaI LinA Ing Skript, p.203
Tangens ist auf $] - \frac{π}{2}, \frac{π}{2} [$ streng monoton wachsend, Die Umkehrfunktion $\arctan : R \to] - \frac{π}{2}, \frac{π}{2} [$ heißt Arcustangens!AnaI LinA Ing Skript, p.203

Ableitungen der Arcusfunktionen

#Satz Ableitungen der Arcus-Funktionen

Im Inneren ihres jeweiligen Definitionsbereichs sind:

\begin{aligned} \arcsin^{'} (x) & = \frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}}, & - 1 < x < 1, \\ \arccos^{'} (x) & = - \frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}}, & - 1 < x < 1, \\ \arctan^{'} (x) & = \frac{1}{1 + x^{2}}, & x \in R . \end{aligned}

Hyperbolische Funktionen

#Definition Hyperbelfunktionen

Die Hyperbelfunktionen sind der Cosinus hyperbolicus $\cosh : R \to R$ ,

\cosh (x) = \frac{e^{x} + e^{- x}}{2},

und der Sinus hyperbolicus $\sinh : R \to R$ ,

\sinh (x) = \frac{e^{x} - e^{- x}}{2} .

!AnaI LinA Ing Skript, p.205

#Satz

Für die hyperbolischen Funktionen gilt:

$\cosh^{2} (x) - \sinh^{2} (x) = 1$ für alle $x \in R$ .
$\cosh^{'} (x) = \sinh (x)$ , $\sinh^{'} (x) = \cosh (x)$ .
$\cosh$ ist eine gerade Funktion: $\cosh (- x) = \cosh (x)$ für alle $x \in R$ .
$\sinh$ ist eine ungerade Funktion: $\sinh (- x) = - \sinh (x)$ für alle $x \in R$ .
Es ist $\sinh : R \to R$ bijektiv. Die Umkehrfunktion heißt Area Sinus hyperbolicus und erfüllt $arsinh (x) = \ln (x + \sqrt{x^{2} + 1}) für alle x \in R .$
Es ist $\cosh : [0, \infty [\to [1, \infty [$ bijektiv. Die Umkehrfunktion heißt Area Cosinus hyperbolicus und erfüllt $arcosh (x) = \ln (x + \sqrt{x^{2} - 1}) für alle x \geq 1.$

Aus der Taylorreihe der Exponentialfunktion bekommen wir die Taylorreihen der hyperbolischen Funktionen:

\cosh (x) = \sum_{k = 0}^{\infty} \frac{x^{2 k}}{(2 k)!}, \sinh (x) = \sum_{k = 0}^{\infty} \frac{x^{2 k + 1}}{(2 k + 1)!} .

Weiter kann man den Tangens hyperbolicus und Cotanges hyperbolicus definieren:

\tanh (x) = \frac{\sinh (x)}{\cosh (x)} = \frac{e^{x} - e^{- x}}{e^{x} + e^{- x}}, \coth (x) = \frac{\cosh (x)}{\sinh (x)} .

Der Tangens hyperbolicus ist eine bijektive Funktion von $R$ nach $] - 1, 1 [$ .

!AnaI LinA Ing Skript, p.206

Die Ableitungen der elementaren Funktionen

f(x)	f'(x)	Bemerkungen
$x^{n}$	$n x^{n - 1}$	$n = 1, 2, 3, \dots$
$\exp (x)$	$\exp (x)$
$a^{x}$	$a^{x} \ln (a)$	$a > 0, x \in R$
$\ln (\| x \|)$	$\frac{1}{x}$	$x \neq 0$
$\log_{a} (\| x \|)$	$\frac{1}{x \ln (a)}$	$a > 0, x > 0, \log_{a} (x) = \frac{\ln (x)}{\ln (a)}$
$x^{a}$	$a x^{a - 1}$	$x > 0, a \in R$
$\sin (x)$	$\cos (x)$
$\cos (x)$	$- \sin (x)$
$\tan (x)$	$1 + \tan (x)^{2} = \frac{1}{\cos (x)^{2}}$	$x \neq \frac{π}{2} + k π, k \in Z$
$\cot (x)$	$- 1 - \cot (x)^{2} = - \frac{1}{\sin (x)^{2}}$	$x \neq k π, k \in Z$
$\arcsin (x)$	$\frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}}$	$\| x \| < 1$
$\arccos (x)$	$- \frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}}$	$\| x \| < 1$
$\arctan (x)$	$\frac{1}{1 + x^{2}}$
$arccot (x)$	$- \frac{1}{1 + x^{2}}$
$\cosh (x)$	$\sinh (x)$
$\sinh (x)$	$\cosh (x)$
$\tanh (x)$	$1 - \tanh (x)^{2} = \frac{1}{\cosh (x)^{2}}$
$\coth (x)$	$1 - \coth (x)^{2} = - \frac{1}{\sinh (x)^{2}}$
$arsinh (x)$	$\frac{1}{\sqrt{1 + x^{2}}}$
$arcosh (x)$	$\frac{1}{\sqrt{x^{2} - 1}}$	$x \in] 1, \infty [$
$artanh (x)$	$\frac{1}{1 - x^{2}}$	$\| x \| < 1$