Konvergenz

#Mathematik #MINTgrün #Studium #AnaLinA #Definition

Konvergenz

#Definition Konvergenz einer Zahlenfolge

Sein $(a_{n})_{n \in N}$ eine Folge reeller Zahlen. Die Folge heißt konvergent gegen $a \in R$ , falls gilt: Für alle $ε > 0$ existiert ein $N_{ε} \in N$ so, dass für alle $n \geq N_{ε}$ gilt $$ |a_{n} - a| < \varepsilon $$
Die Zahl $a$ heißt der Grenzwert (oder Limes) der Folge.
Schreibweise: $lim_{n \to \infty} a_{n} = a$ oder " $a_{n} \to a$ für $n \to \infty$ " oder kurz " $a_{n} \to a$ ".
Die Folge $(a_{n})_{n \in N}$ heißt konvergent, falls $(a_{n})_{n \in N}$ einen Grenzwert hat.
Die Folge $(a_{n})_{n \in N}$ heißt divergent, falls sie nicht konvergent ist. Eine Folge, die gegen Null konvergiert, heißt Nullfolge.
Hinweis: $N_{ε}$ hängt von $ε$ ab.

Eine reelle Zahlenfolge $(a_{n})_{n \in N}$ konvergiert also genau dann gegen $a \in R$ , falls für jede (noch so kleine) Toleranz $ε > 0$ alle bis auf endlich viele Folgenglieder (nämlich höchstens die mit $n < N_{ε}$ ) im Intervall $] a - ε, a + ε [$ liegen.

Interpretation auf der Zahlengerade:
Betrachtet man die Folgenglieder als Punkte auf der Zahlengeraden, so bedeutet Konvergenz gegen $a \in R$ , dass für jedes $ε > 0$ alle Folgenglieder (ab $N_{ε}$ ) in dem hellgrauen Intervall liegen:
!AnaI LinA Ing Skript, p.133

weitere Interpretation:
Trägt man die Folge als Funktion auf, so bedeutet Konvergenz, dass für jedes $ε > 0$ alle Folgenglieder (ab $N_{ε}$ ) in dem ” $ε$ -Schlauch“ um $a$ liegen:
!AnaI LinA Ing Skript, p.133
Eigenschaften konvergenter Folgen:

Der Grenzwert einer konvergenten Folge ist eindeutig.
Konvergente Folgen sind beschränkt.
Unbeschränkte Folgen sind divergent.

Bestimmte Divergenz

#Definition Bestimmte Divergenz

Eine reelle Zahlenfolge $(a_{n})_{n}$ heißt bestimmt divergent gegen $+ \infty$ , falls zu jedem $M \in R$ ein $N \in N$ existiert mit$$ a_n > M \quad \text{für alle } n \ge N. $$ Schreibweise: $lim_{n \to \infty} a_{n} = + \infty$ .
Entsprechend heißt $(a_{n})_{n}$ bestimmt divergent gegen $- \infty$ , falls zu jedem $M \in R$ ein $N \in N$ existiert mit $$ a_n < M \quad \text{für alle } n \ge N. $$ Wir schreiben $lim_{n \to \infty} a_{n} = - \infty$ .

Manche Autoren verwenden statt bestimmt divergent gegen $+ \infty$ auch den Begriff uneigentlich konvergent gegen $+ \infty$ . Wir machen das nicht. „Konvergent“ bedeutet immer „konvergent gegen eine reelle Zahl“.****