Algebra von Funktionen

Proposition: Umkehrabbildung I

Sei $f : A \to B$ eine partielle Abbildung. Ist $f$ injektiv, dann ist auch die Umkehrrelation $f^{- 1} : (B, A)$ eine injektive partielle Abbildung. Zudem gilt:

(f^{- 1})^{- 1} = f

Theorem: Komposition partieller Abbildungen

Seien $f : A \to B$ und $g : B \to C$ partielle Abbildungen. Dann ist deren Komposition $(g \circ f) : A \to C$ wieder eine partielle Abbildung. Es gilt zudem:

(g \circ f) (x) = g (f (x)) für alle x \in D e f (g \circ f)

Proposition: Umkehrabbildung II

Eine Abbildung $f : (A, B)$ ist genau dann eine Bijektion, wenn es eine Abbildung $g : (B, A)$ gibt, sodass gilt:

$(g \circ f) (a) = a$ für alle $a \in A$
$(f \circ g) (b) = b$ für alle $b \in B$

In diesem Fall gilt zudem $g = f^{- 1}$ .

Theorem: Kürzbarkeit

Seien $A, B, C, D$ Mengen und $f : A \to B$ , $g_{1}, g_{2} : B \to C$ sowie $h : C \to D$ Abbildungen. Then gilt:

Falls $f$ surjektiv ist, dann gilt: $(g_{1} \circ f = g_{2} \circ f) \to g_{1} = g_{2}$
Falls $h$ injektiv ist, dann gilt: $(h \circ g_{1} = h \circ g_{2}) \to g_{1} = g_{2}$

Proposition: Umkehrabbildung I

Theorem: Komposition partieller Abbildungen

Proposition: Umkehrabbildung II

Theorem: Kürzbarkeit

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