Lineare Gleichungssysteme

#Mathematik #Studium #MINTgrün #AnaLinA #Definition

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Definition (Lineares Gleichungssystem (LGS))

Ein lineares Gleichungssystem (LGS) mit $m$ Gleichungen in $n$ Unbekannten hat die Form

$\begin{aligned} a_{1, 1} x_{1} + a_{1, 2} x_{2} + \dots + a_{1, n} x_{n} & = b_{1} \\ a_{2, 1} x_{1} + a_{2, 2} x_{2} + \dots + a_{2, n} x_{n} & = b_{2} \\ ⋮ \\ a_{m, 1} x_{1} + a_{m, 2} x_{2} + \dots + a_{m, n} x_{n} & = b_{m} \end{aligned} (1)$

Die $x_{j}$ heißen Unbekannte oder Variablen und sind gesucht.
Die Koeffizienten $a_{i, j} \in K$ und $b_{i} \in K$ sind gegeben.

Wir sprechen von einem reellen LGS, falls $K = R$ ist (also $a_{i, j}$ und $b_{i}$ reell sind) und von einem komplexen LGS, falls $K = C$ ist.

Sind alle $b_{i} = 0$ , so heißt das LGS homogen, andernfalls heißt das LGS inhomogen (mindestens ein $b_{i} \neq 0$ ).

Matrixschreibweise

\underset{= A}{\underset{⏟}{[\begin{matrix} a_{1, 1} & a_{1, 2} & \dots & a_{1, n} \\ a_{2, 1} & a_{2, 2} & \dots & a_{2, n} \\ ⋮ & ⋮ & ⋱ & ⋮ \\ a_{m, 1} & a_{m, 2} & \dots & a_{m, n} \end{matrix}]}} \underset{= x}{\underset{⏟}{[\begin{matrix} x_{1} \\ x_{2} \\ ⋮ \\ x_{n} \end{matrix}]}} = \underset{= b}{\underset{⏟}{[\begin{matrix} b_{1} \\ b_{2} \\ ⋮ \\ b_{m} \end{matrix}]}}

also als $A x = b$

Mit der Matrixschreibweise $A x = b$ bezeichnen wir:

$A \in K^{m, n}$ die Koeffizientenmatrix des LGS,
$b \in K^{m}$ die rechte Seite oder die Inhomogenität des LGS,
$x \in K^{n}$ die Lösung (eventuell mehrere) von $A x = b$ ,
$L = L (A, b) := {x \in K^{n} ∣ A x = b}$ die Lösungsmenge (Menge aller Lösungen) von $A x = b$ .

Der Gauß-Algorithmus

Im Gauß-Algorithmus sind nur die folgenden elementaren Zeilenoperationen erlaubt:

Vertauschen von zwei Zeilen,
Multiplizieren einer Zeile mit einer Zahl $λ \neq 0$ (wobei $λ \in K$ ), und
Addition des Vielfachen einer Zeile zu einer anderen Zeile.

Ziel: Bringe eine Matrix $A \in K^{m, n}$ auf Zeilenstufenform

#Definition : Der Gauß-Algorithmus (Zeilenstufenform)

Sei $A \in K^{m, n}$ . Dann kann $A$ durch elementare Zeilenoperationen auf Zeilenstufenform (ZSF) gebracht werden, d.h. auf die Form !AnaI LinA Ing Skript, p.101
wobei $c_{i, j_{i}} \neq 0$ für $i = 1, \dots, r$ und $*$ für beliebige Einträge steht (null oder ungleich null) $^{1}$ . Die Einträge $c_{i, j_{i}}$ bei den „Stufen“ werden auch Pivotelemente genannt. Genauer ist die Matrix $C \in K^{m, n}$ inZeilenstufenform, falls gilt:

Der erste Nichtnulleintag einer Zeile ist weiter rechts als die ersten Nichtnulleinträge der vorherigen Zeile
Alle Zeilen mit nur Nullen sind unter den Zeilen mit Nichtnulleinträgen

Bestimmung der Zeilenstufenform (ZSF) einer Matrix

A \neq 0

Wir können wie folgt vorgehen, um $A \neq 0$ in Zeilenstufenform zu bringen:

Suche die erste von Null verschiedene Spalte $j_{1}$ .
Suche in dieser Spalte den ersten Eintrag ungleich Null (Pivotelement) und tausche ihn ggf. in die erste Zeile. Wir haben nun eine Matrix der Form $[\begin{matrix} 0 & c_{1, j_{1}} & * \\ 0 & * & * \end{matrix}] mit c_{1, j_{1}} \neq 0.$ (Dies ist eine schematische Darstellung der relevanten Teile der Matrix)
Unter dem Pivotelement $c_{1, j_{1}}$ werden alle Einträge eliminiert, indem geeignete Vielfache der ersten Zeile von den anderen Zeilen abgezogen werden.
Rekursion: Ist die Matrix in Zeilenstufenform, so sind wir fertig. Andernfalls haben wir die Form $[\begin{matrix} 0 & c_{1, j_{1}} & * \\ 0 & 0 & A_{1} \end{matrix}] mit c_{1, j_{1}} \neq 0.$ Die erste Zeile und die ersten Spalten (bis Spalte $j_{1}$ ) bleiben wie sie sind, und wir wenden das gleiche Verfahren auf die kleinere Matrix $A_{1}$ an.

Bemerkung

Die Zeilenstufenform der Nullmatrix $A = 0$ ist $C = 0$ .
Der Gauß-Algorithmus gibt einen Rechenweg an um $A$ in ZSF zu bringen
Die Zeilenstufenform einer Matrix $A \neq 0$ ist nicht eindeutig bestimmt: Multipliziere eine Zeilenstufenform von $A$ mit einer Zahl ungleich Null → Dies liefert eine (andere) Zeilenstufenform von $A$

#Definition : normierte Zeilenstufenform

Sei $A \neq 0$ eine Matrix und sei $C$ eine Zeilenstufenform von $A$ . Die Matrix $C$ ist in normierter Zeilenstufenform falls
4) alle Pivotelemente $c_{i, j_{i}}$ normiert sind, d.h. $c_{i, j_{i}} = 1$ ,
5) alle Einträge über den Pivotelementen Null sind.
Die normierte ZSF einer Matrix ist eindeutig und hat folgende Gestalt:
!AnaI LinA Ing Skript, p.102

Das Lösen von linearen Gleichungssystemen

Um das LGS $A x = b$ zu lösen, wenden wir den Gauß-Algorithmus auf die erweiterte Koeffizientenmatrix an:

[A, b] = [A | b] = [\begin{array}{ccccc} a_{1, 1} & a_{1, 2} & \dots & a_{1, n} & b_{1} \\ a_{2, 1} & a_{2, 2} & \dots & a_{2, n} & b_{2} \\ ⋮ & ⋮ & ⋱ & ⋮ & ⋮ \\ a_{m, 1} & a_{m, 2} & \dots & a_{m, n} & b_{m} \end{array}]

Die Anwendung der elementaren Zeilenoperation auf die erweiterte Koeffizientenmatrix verändert die Lösungsmenge des linearen Gleichungssystems $A x = b$ nicht.

Ist die Matrix in ZSF oder NZSF, so können wir die Lösung(en) des Gleichungssystems durch Rückwärtssubstitution bestimmen.

man darf nicht simultan 1 - 2 und 2 - 1 berechnen.

Lösungskriterium für lineare Gleichungssysteme

#Satz : Lösungskriterium für lineare Gleichungssysteme

Seien $A \in K^{m, 1}$ und $b \in K^{m}$ . Das LGS $A x = b$ hat

keine Lösung, genau dann wenn $$\text{Rang}([A|B])> \text{Rang}(A).$$
genau eine Lösung, genau dann wenn $$\text{Rang}([A|B]) = \text{Rang}(A) = n$$
unendlich viele Lösungen, genau dann wenn $$\text{Rang}([A|B]) = \text{Rang}(A) < n$$

!AnaI LinA Ing Skript, p.111

Struktur der Lösungsmenge

Wir untersuchen nun die Struktur der Lösungsmenge des LGS $A x = b$ mit $A \in K^{m, n}$ und $b \in K^{m}$ .

homogenes LGS, d.h. $b = 0$ . Dann ist $L (A, 0)$ ein Teilraum von $K^{n}$ :
1. $A 0 = 0$ , d.h. $0 \in L (A, 0)$ ,
2. $x, y \in L (A, 0)$ , d.h. $A x = 0$ und $A y = 0$ , dann ist $A (x + y) = A x + A y = 0 + 0 = 0$ , also $x + y \in L (A, 0)$
3. Ist $λ \in K$ und $x \in L (A, 0)$ , d.h. $A x = 0$ , dann ist $A (λ x) = λ A x = λ 0 = 0$ , also $λ x \in L (A, 0)$ .
  Daher ist $L (A, 0)$ ein Teilraum von $K^{n}$ nach dem Teilraumkriterium (Satz 10.4).
inhomogenes LGS, d.h. $b \neq 0$ . Dann ist $L (A, b)$ kein Teilraum, da $0 \notin L (A, 0)$ ist: $A 0 = 0 \neq b$ .

Ist das inhomogene lineare Gleichungssystem $A x = b$ mit $b \neq 0$ lösbar, so hat die Lösungsmenge folgende spezielle Struktur.

#Satz : Struktur der Lösungsmenge

Das LGS $A x = b$ mit $A \in K^{m, n}$ und $b \in K^{n}$ habe eine Lösung $x_{P} \in K^{n}$ . Diese spezielle Lösung wird auch partikuläre Lösung genannt. Dann gilt

L (A, b) = {x \in K^{n} ∣ A x = b} = {x_{P} + x \in K^{n} ∣ A x = 0} =: x_{P} + L (A, 0) .