Stetigkeit

#Mathematik #MINTgrün #Studium #AnaLinA #Definition

Stetigkeit

Grenzwerte von Funktionen

Sei $f : D \to R$ eine Funktion ( $D \subseteq R$ ) und sei $a \in R \cup {- \infty, + \infty}$ . Wir sagen, $f$ hat für $x$ gegen $a$ den Grenzwert $c \in R \cup {- \infty, + \infty}$ , in Zeichen

lim_{x \to a} f (x) = c,

falls gilt:

Für jede Folge $(x_{n})_{n}$ mit
(a) $x_{n} \in D$ ,
(b) $x_{n} \neq a$ ,
(c) $lim_{n \to \infty} x_{n} = a$ ,
ist $lim_{n \to \infty} f (x_{n}) = c$ .
Es gibt mindestens eine Folge $(x_{n})_{n}$ mit (a)–(c).

$a$ kann im Definitionsbereich von $f$ sein, muss aber nicht.
In der Definition setzen wir voraus, dass es Folgen $(x_{n})_{n \in N}$ in $D ∖ {a}$ gibt, die gegen $a$ konvergieren: Der Punkt $a$ muss von $D ∖ {a}$ „erreichbar“ sein. Zum Beispiel ist $a = 2$ für $D = [0, 1] \cup {2}$ nicht aus $D ∖ {2} = [0, 1]$ erreichbar.

#Satz Grenzwertsätze für Funktionen

Sind $lim_{x \to a} f (x) = c$ und $lim_{x \to a} g (x) = d$ mit $c, d \in R$ , so gilt:

$lim_{x \to a} (f (x) + g (x)) = lim_{x \to a} f (x) + lim_{x \to a} g (x) = c + d,$
$lim_{x \to a} (f (x) g (x)) = (lim_{x \to a} f (x)) (lim_{x \to a} g (x)) = c d,$
$lim_{x \to a} (α f (x)) = α lim_{x \to a} f (x) = α c für jedes α \in R,$
$lim_{x \to a} \frac{f (x)}{g (x)} = \frac{lim_{x \to a} f (x)}{lim_{x \to a} g (x)} = \frac{c}{d}, falls d \neq 0.$

Die Rechenregeln gelten auch für $a = \pm \infty$ . Hingegen müssen $c, d$ endlich sein.

Die Rechenregeln 1) und 3) besagen, dass Grenzwertbildung linear ist.
Das Sandwich-Prinzip gilt auch für Grenzwerte von Funktionen.

Links- und Rechtsseitige Grenwerte

#Definition Linksseitiger Grenzwert

Sei $f : D \to R$ eine Funktion ( $D \subseteq R$ ) und sei $a \in R \cup {- \infty, + \infty}$ . Wir sagen, $f$ hat für $x$ gegen $a$ den linksseitigen Grenzwert $c \in R \cup {- \infty, + \infty}$ , in Zeichen

lim_{x ↗ a} f (x) = c oder lim_{x \to a^{-}} f (x) = c,

falls gilt:

Für jede Folge $(x_{n})_{n \in N}$ mit
(a) $x_{n} \in D$ ,
(b) $x_{n} < a$ ,
(c) $lim_{n \to \infty} x_{n} = a$ ,
ist $lim_{n \to \infty} f (x_{n}) = c$ .

(2) Es gibt mindestens eine Folge $(x_{n})_{n \in N}$ mit (a)–(c).

Unterschied zur Konvergenz auf Folie 2:
In (b) fordern wir nun $x_{n} < a$ anstatt $x_{n} \neq a$ .

#Definition Rechtsseitiger Grenzwert

Sei $f : D \to R$ eine Funktion ( $D \subseteq R$ ) und sei $a \in R \cup {- \infty, + \infty}$ . Wir sagen, $f$ hat für $x$ gegen $a$ den rechtsseitigen Grenzwert $c \in R \cup {- \infty, + \infty}$ , in Zeichen

lim_{x ↘ a} f (x) = c oder lim_{x \to a^{+}} f (x) >= c,

falls gilt:

Für jede Folge $(x_{n})_{n \in N}$ mit
(a) $x_{n} \in D$ ,
(b) $x_{n} > a$ ,
(c) $lim_{n \to \infty} x_{n} = a$ ,
ist $lim_{n \to \infty} f (x_{n}) = c$ .
Es gibt mindestens eine Folge $(x_{n})_{n \in N}$ mit (a)–(c).

Unterschied zur Konvergenz auf Folie 2:
In (b) fordern wir nun $x_{n} > a$ anstatt $x_{n} \neq a$ .

Stetigkeit

#Definition Stetigkeit

Sei $f : D \to R$ , $D \subseteq R$ eine Funktion.

$f$ heißt stetig in $a \in D$ , falls gilt:

lim_{x \to a} f (x) = f (a) . (*)

Dies bedeutet, dass für jede Folge $(x_{n})_{n \in N} \subseteq D$ mit $x_{n} \neq a$ und $lim_{n \to \infty} x_{n} = a$ gilt

$lim_{n \to \infty} f (x_{n}) = f (a) = f (lim_{n \to \infty} x_{n}),$
d. h., „ $f$ vertauscht mit Limesbildung“.

Gleichung $(*)$ beinhaltet zwei Bedingungen:
(i) Der Grenzwert existiert.
(ii) Dieser Grenzwert ist gleich $f (a)$ .

$f$ heißt stetig auf $D$ , falls $f$ in allen $a \in D$ stetig ist.

Graphische Interpretation

Stetige Funktion: !350
unstetige Funktion: Der Grenzwert ist $lim_{x \to a} f (x) \neq f (a)$ ! 350
unstetige Funktion: Der Grenzwert $lim_{x \to a}$ existiert nicht !350

Rechnen mit stetigen Funktionen

Rechenregeln für stetige Funktionen

Sind $f, g : D \to R$ stetig, so sind $f + g$ , $f - g$ , $α f$ für $α \in R$ und $f g$ in $D$ stetig.
Sind $f, g : D \to R$ stetig, so ist $f / g$ in $D ∖ {x ∣ g (x) = 0}$ stetig, also überall dort wo $f / g$ gebildet werden kann.
Sind $f : D \to R$ , $g : E \to R$ stetig und $g (E) \subseteq D$ , so ist auch die Komposition $f \circ g : E \to R$ , $x \mapsto f (g (x))$ in $E$ stetig.

Stetige Fortsetzbarkeit

#Definition Stetige Fortsetzbarkeit

Sei $f : I ∖ {a} \to R$ stetig, wobei $I$ ein Intervall ist und $a \in I$ . Wenn der Grenzwert $lim_{x \to a} f (x) = c \in R$ existiert, so können wir die Funktion

g : I \to R, g (x) = {\begin{cases} f (x), & falls x \neq a \\ c, & falls x = a \end{cases}

definieren, die dann stetig auf ganz $I$ ist.

Diese Funktion setzt $f$ von $I ∖ {a}$ nach $I$ fort und wird eine stetige Fortsetzung von $f$ genannt. Häufig nennt man $g$ auch wieder $f$ .