Kompaktheit

Theorem (Kompaktheits- oder Endlichkeitssatz)

Sei $Φ \subseteq A L$ eine Formelmenge und $ψ \in A L$ eine Formel.

$Φ$ ist erfüllbar gdw. jede endliche Teilmenge $Φ^{'} \subseteq Φ$ erfüllbar ist.
$Φ ⊨ ψ$ gdw. eine endliche Teilmenge $Φ_{0} \subseteq Φ$ existiert mit $Φ_{0} ⊨ ψ$ .

Bedeutung:
Dieser Satz erlaubt den Übergang von Eigenschaften unendlicher Mengen auf endliche Mengen. Er ist essentiell für Beweise wie die Vollständigkeit des Resolutionskalküls für unendliche Mengen.

Bemerkung: Der Satz gilt auch für überabzählbare Variablenmengen.