Sinus und Cosinus

#Mathematik #Studium #MINTgrün #AnaLinA #Definition

Sinus und Cosinus

Ein Punkt auf dem Einheitskreis ist durch Angabe eines Winkels $φ$ zur positiven reellen Achse (x-Achse) festgelegt
!AnaI LinA Ing Skript, p.49

Der Winkel wird mit dem Bogenmaß gemessen: $π = 180 °$

Für einen Winkel $φ$ haben wir ein rechtwinkliges Dreieck mit dem Punkt (x, y) auf dem Einheitskreis und einer Hypothenuse der Länge 1:

!AnaI LinA Ing Skript, p.49Die Funktionen graphisch dargestellt:
!AnaI LinA Ing Skript, p.50

Eigenschaften von Sinus und Cosinus

Es gelten für alle $x \in R$ :

$- 1 \leq \cos (x) \leq 1$ und $- 1 \leq \sin (x) \leq 1$
$\cos (- x) = \cos (x)$ , → Cosinus ist eine gerade Funktion
$\sin (- x) = - \sin (x)$ → Sinus ist eine ungerade Funktion
Trigonometrischer Pythagoras: $\cos (x)^{2} + \sin (x)^{2} = 1$
$\cos (x + 2 π k) = \cos (x)$ und $\sin (x + 2 π k) = \sin (x)$ für $k \in Z$ , → Sinus und Cosinus sind $2 π$ -Periodisch
$\cos (x) = 0$ genau dann, wenn $x = \pm \frac{π}{2}, \pm \frac{3 π}{2}, \pm \frac{5 π}{2}, \dots$
$\sin (x) = 0$ genau dann, wenn $x = 0, \pm π, \pm 2 π, \dots$

Additionstheoreme

Es gelten für alle $x \in R$ :

\begin{aligned} \cos (x + y) & = \cos (x) \cos (y) - \sin (x) \sin (y), \\ \sin (x + y) & = \sin (x) \cos (y) + \cos (x) \sin (y) . \end{aligned}

\begin{aligned} \cos (x + 2 π) & = \cos (x) \cos (2 π) - \sin (x) \sin (2 π) = \cos (x), \\ \sin (x + 2 π) & = \sin (x) \cos (2 π) + \cos (x) \sin (2 π) = \sin (x), \\ \cos (x + π) & = \cos (x) \cos (π) - \sin (x) \sin (π) = - \cos (x), \\ \sin (x + π) & = \sin (x) \cos (π) + \cos (x) \sin (π) = - \sin (x) . \end{aligned}

Sinus und Cosinus sind also $2 π$ periodisch

Bekannte Werte

!AnaI LinA Ing Skript, p.51

Regel um aus Winkel cos bzw. sin zu bekommen

α in ∘	0∘	30∘	45∘	60∘	90∘
$α$ in rad	$0$	$\frac{π}{6}$	$\frac{π}{4}$	$\frac{π}{3}$	$\frac{π}{2}$
Merkhilfe $\sin (α)$	$\frac{1}{2} \sqrt{0}$	$\frac{1}{2} \sqrt{1}$	$\frac{1}{2} \sqrt{2}$	$\frac{1}{2} \sqrt{3}$	$\frac{1}{2} \sqrt{4}$
$\sin (α)$	$0$	$\frac{1}{2}$	$\frac{1}{2} \sqrt{2}$	$\frac{1}{2} \sqrt{3}$	$1$
$\cos (α)$	$1$	$\frac{1}{2} \sqrt{3}$	$\frac{1}{2} \sqrt{2}$	$\frac{1}{2}$	$0$
$\tan (α)$	$0$	$\frac{1}{3} \sqrt{3}$	$1$	$\sqrt{3}$	nicht definiert

Amplitude, Frequenz und Phasenverschiebung

Definition: Amplitude, Frequenz und Phasenverschiebung

$f : R \to R, x \mapsto A \sin (ω x - φ) .$
Dabei heißt $A$ die Amplitude, $ω$ die Frequenz , und $φ$ die Phasenverschiebung der Sinusschwingung

Amplitude

!AnaI LinA Ing Skript, p.52
$A$ , also die Zahl, mit der der Ausdruck multipliziert ist verändert die Amplitude. Das meint nichts anderes als wie stark die Sinusschwingung ausschlägt

Frequenz

!AnaI LinA Ing Skript, p.52
$ω$ , also die Zahl, mit welcher das $x$ multipliziert wird beeinflusst die Frequenz. Also welchenAbstand die Schwingungen zueinander haben.

Phasenverschiebung

!AnaI LinA Ing Skript, p.52
$φ$ , also der Wert, der zu $x$ addiert oder subtrahiert wird beeinflusst die Phasenverschiebung. Das bedeutet, um welchen Wert die Schwingungen nach links oder rechts auf der zahlengeraden verschoben sind.

Tangens & Cotangens

#Definition Tangens und Cotangens

Der Tangens ist

\tan (x) = \frac{\sin (x)}{\cos (x)}, x \neq \frac{π}{2} + k π, k \in Z,

und ist in $R$ außer in den Nullstellen des Cosinus definiert. Der Cotanges ist

\cot (x) = \frac{\cos (x)}{\sin (x)}, x \neq k π, k \in Z .

Tangens: !AnaI LinA Ing Skript, p.200

Cotangens: !AnaI LinA Ing Skript, p.200

Geometrische Interpretation: !AnaI LinA Ing Skript, p.201

Ableitung Tangens

\begin{aligned} \tan^{'} (x) & = {(\frac{\sin (x)}{\cos (x)})}^{'} = \frac{\sin^{'} (x) \cos (x) - \sin (x) \cos^{'} (x)}{\cos (x)^{2}} \\ = \frac{\cos (x) \cos (x) + \sin (x) \sin (x)}{\cos (x)^{2}} = \frac{\cos (x)^{2} + \sin (x)^{2}}{\cos (x)^{2}} \\ = {\begin{cases} \frac{1}{\cos (x)^{2}} \\ 1 + \tan (x)^{2} \end{cases} . \end{aligned}

Arcusfunktionen

$\sin (x), \cos (x), \tan (x) und \cot (x)$ sind alles Winkelfunktionen und nicht injektiv. Sie sind aber periodisch. Innerhalb von Teilintervallen, genauer innerhalb der einzelnen Iterationen sind diese Funktionen hingegen Injektiv. zu diesen eingeschränkten Funktionen gibt es dann Umkehrfunktionen, die sogenannten Arkus-Funktionen.
Ein Teilintervall von Sinus, der injektiv ist (blau markiert): !AnaI LinA Ing Skript, p.201
wenn man diese Sinus-Funktion an der winkelhalbierenden spiegelt erhält man die Umkehrfunktion:!200
Sinus ist auf $[- \frac{π}{2}, \frac{π}{2}]$ streng monoton wachsend, also Injektiv. Die Umkehrfunktion $\arcsin : [- 1, 1] \to [- \frac{π}{2}, \frac{π}{2}]$ heißt Arcussinus !AnaI LinA Ing Skript, p.202
Cosinus ist auf $[0, π]$ streng monoton fallend. Die Umkehrfunktion $\arccos : [- 1, 1] \to [0, π]$ heißt Arcuscosinus!AnaI LinA Ing Skript, p.203
Tangens ist auf $] - \frac{π}{2}, \frac{π}{2} [$ streng monoton wachsend, Die Umkehrfunktion $\arctan : R \to] - \frac{π}{2}, \frac{π}{2} [$ heißt Arcustangens!AnaI LinA Ing Skript, p.203

Ableitungen der Arcusfunktionen

#Satz Ableitungen der Arcus-Funktionen

Im Inneren ihres jeweiligen Definitionsbereichs sind:

\begin{aligned} \arcsin^{'} (x) & = \frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}}, & - 1 < x < 1, \\ \arccos^{'} (x) & = - \frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}}, & - 1 < x < 1, \\ \arctan^{'} (x) & = \frac{1}{1 + x^{2}}, & x \in R . \end{aligned}

Hyperbolische Funktionen

#Definition Hyperbelfunktionen

Die Hyperbelfunktionen sind der Cosinus hyperbolicus $\cosh : R \to R$ ,

\cosh (x) = \frac{e^{x} + e^{- x}}{2},

und der Sinus hyperbolicus $\sinh : R \to R$ ,

\sinh (x) = \frac{e^{x} - e^{- x}}{2} .

!AnaI LinA Ing Skript, p.205

#Satz

Für die hyperbolischen Funktionen gilt:

$\cosh^{2} (x) - \sinh^{2} (x) = 1$ für alle $x \in R$ .
$\cosh^{'} (x) = \sinh (x)$ , $\sinh^{'} (x) = \cosh (x)$ .
$\cosh$ ist eine gerade Funktion: $\cosh (- x) = \cosh (x)$ für alle $x \in R$ .
$\sinh$ ist eine ungerade Funktion: $\sinh (- x) = - \sinh (x)$ für alle $x \in R$ .
Es ist $\sinh : R \to R$ bijektiv. Die Umkehrfunktion heißt Area Sinus hyperbolicus und erfüllt $arsinh (x) = \ln (x + \sqrt{x^{2} + 1}) für alle x \in R .$
Es ist $\cosh : [0, \infty [\to [1, \infty [$ bijektiv. Die Umkehrfunktion heißt Area Cosinus hyperbolicus und erfüllt $arcosh (x) = \ln (x + \sqrt{x^{2} - 1}) für alle x \geq 1.$

Aus der Taylorreihe der Exponentialfunktion bekommen wir die Taylorreihen der hyperbolischen Funktionen:

\cosh (x) = \sum_{k = 0}^{\infty} \frac{x^{2 k}}{(2 k)!}, \sinh (x) = \sum_{k = 0}^{\infty} \frac{x^{2 k + 1}}{(2 k + 1)!} .

Weiter kann man den Tangens hyperbolicus und Cotanges hyperbolicus definieren:

\tanh (x) = \frac{\sinh (x)}{\cosh (x)} = \frac{e^{x} - e^{- x}}{e^{x} + e^{- x}}, \coth (x) = \frac{\cosh (x)}{\sinh (x)} .

Der Tangens hyperbolicus ist eine bijektive Funktion von $R$ nach $] - 1, 1 [$ .

!AnaI LinA Ing Skript, p.206

Die Ableitungen der elementaren Funktionen

f(x)	f'(x)	Bemerkungen
$x^{n}$	$n x^{n - 1}$	$n = 1, 2, 3, \dots$
$\exp (x)$	$\exp (x)$
$a^{x}$	$a^{x} \ln (a)$	$a > 0, x \in R$
$\ln (\| x \|)$	$\frac{1}{x}$	$x \neq 0$
$\log_{a} (\| x \|)$	$\frac{1}{x \ln (a)}$	$a > 0, x > 0, \log_{a} (x) = \frac{\ln (x)}{\ln (a)}$
$x^{a}$	$a x^{a - 1}$	$x > 0, a \in R$
$\sin (x)$	$\cos (x)$
$\cos (x)$	$- \sin (x)$
$\tan (x)$	$1 + \tan (x)^{2} = \frac{1}{\cos (x)^{2}}$	$x \neq \frac{π}{2} + k π, k \in Z$
$\cot (x)$	$- 1 - \cot (x)^{2} = - \frac{1}{\sin (x)^{2}}$	$x \neq k π, k \in Z$
$\arcsin (x)$	$\frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}}$	$\| x \| < 1$
$\arccos (x)$	$- \frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}}$	$\| x \| < 1$
$\arctan (x)$	$\frac{1}{1 + x^{2}}$
$arccot (x)$	$- \frac{1}{1 + x^{2}}$
$\cosh (x)$	$\sinh (x)$
$\sinh (x)$	$\cosh (x)$
$\tanh (x)$	$1 - \tanh (x)^{2} = \frac{1}{\cosh (x)^{2}}$
$\coth (x)$	$1 - \coth (x)^{2} = - \frac{1}{\sinh (x)^{2}}$
$arsinh (x)$	$\frac{1}{\sqrt{1 + x^{2}}}$
$arcosh (x)$	$\frac{1}{\sqrt{x^{2} - 1}}$	$x \in] 1, \infty [$
$artanh (x)$	$\frac{1}{1 - x^{2}}$	$\| x \| < 1$