Koordinatendarstellung

#Mathematik #MINTgrün #Studium #AnaLinA #Definition

Koordinatendarstellung

#Definition Koordinatenabbildung

Sei $V$ ein $K$ -Vektorraum mit Basis $B = {b_{1}, \dots, b_{n}}$ . Die Koordinatenabbildung von $V$ bzgl. $B$ ist die Abbildung

K_{B} : V \to K^{n}, v = \sum_{j = 1}^{n} λ_{j} b_{j} \mapsto {\vec{v}}_{B} = [\begin{matrix} λ_{1} \\ λ_{2} \\ ⋮ \\ λ_{n} \end{matrix}]

Satz 1

Sei $V$ ein $K$ -Vektorraum mit Basis $B = {b_{1}, \dots, b_{n}}$ . Die Koordinatenabbildung $K_{B}$ ist linear und bijektiv, also ein Isomorphismus. Die Inverse ist

K_{B}^{- 1} : K^{n} \to V, [\begin{matrix} λ_{1} \\ ⋮ \\ λ_{n} \end{matrix}] \mapsto v = \sum_{j = 1}^{n} λ_{j} b_{j} = λ_{1} b_{1} + \dots + λ_{n} b_{n} .