Map of Content: Logische Grundlagen

Diese Übersicht bündelt die fundamentalen Konzepte der mathematischen Logik und des formalen Schließens. Die Begriffe sind strikt in Syntax (Form), Semantik (Beweis durch Wahrheit) und Kalkül (Beweis durch Regeln) unterteilt.

• Aussagenlogik
• Wahrheitsbelegung
• Wahrheitswertfunktion

Das Fundament (Die Sprache)

• Signatur: Die formale Festlegung der erlaubten Symbole (Konstanten, Funktionen, Relationen).
• Formel (Prädikatenlogik): Die induktive Definition, was ein syntaktisch korrekt gebildeter Ausdruck ist.
• Freie und gebundene Variablen: Unterscheidung der Variablenbindung, fundamental für die Substitution.

Die Semantik (Die Bedeutung)

• $\sigma$-Struktur: Das mathematische Tupel $(A,{\cdot }^{\mathcal{A}})$ aus Universum und Interpretationsfunktion.
• Interpretation: Die konkrete Zuweisung von Bedeutungen an Symbole innerhalb einer Struktur.
• Erfüllbarkeit, Modell: Wann eine Struktur ein Prädikat oder eine Formel wahr macht ($\mathcal{A}\models \phi$).

Der Kalkül (Das Beweisen)

• Inferenzregel: Syntaktische Vorschrift zur Ableitung einer Konklusion aus Prämissen.
• Logische Äquivalenzen als Beweisregeln: Verwendung bewiesener Äquivalenzen als Shortcuts im Beweisbaum.
• Abgeleitete Regeln (Natürliches Schließen): Shortcuts wie Modus Tollens, Doppelte Negation und Falsum.

• Formal-mathematische Grundlagen
• Logik