Lineare Abbildungen

#Mathematik #MINTgrün #Studium #AnaLinA #Definition

Lineare Abbildungen

#Definition : Lineare Abbildung

Seien $V, W$ zwei $K$ -Vektorräume. Eine Abbildung $f : V \to W$ heißt linear, wenn für alle $v, w \in V$ und $λ \in K$ gilt

Additivität: $f (v + w) = f (v) + f (w)$ ,
Homogenität: $f (λ v) = λ f (v)$ .
Die Menge aller linearen Abbildungen von $v$ nach $W$ wird mit $L (V, W)$ oder $Hom (V, W)$ bezeichnet.

Lineare Abbildungen erhalten die Struktur eines Vektorraums (Addition und Skalarmultiplikation). Eine andere Bezeichnung für eine lineare Abbildung ist Homomorphismus

Eigenschaften linearer Abbildungen

Sei $A \in K^{m, n}$ . Dann ist $f : K^{n} \to K^{m}, x \mapsto A x$ , linear, denn nach den Rechenregeln für Matrizen gilt für alle $x, y \in K^{n}$ und $λ \in K$ :

Additivität: $f (x + y) = A (x + y) = A x + A y = f (x) + f (y)$ ,
Homogenität: $f (λ x) = A (λ x) = λ A x = λ f (x)$

Dies zeigt, dass wir jede Matrix als lineare Abbildung ansehen können. Insbesondere gilt alles, was wir für lineare Abbdilungen lernen, auch für Matrizen

#Satz 1

Ist $f : K^{n} \to K^{m}$ linear, dann gibt es eine Matrix $A \in K^{m, n}$ mit $f (x) = A x$ für alle $x \in K^{n}$ . Dabei enthält $A = [a_{1}, \dots, a_{n}]$ die Bilder der Vektoren

e_{1} = [\begin{matrix} 1 \\ 0 \\ ⋮ \\ 0 \end{matrix}], \dots, [\begin{matrix} 0 \\ ⋮ \\ 0 \\ 1 \end{matrix}]

d.h. $a_{1} = f (e_{1}), \dots, a_{n} = f (e_{n})$

#Satz 2

Seien $V, W$ zwei $K$ -Vektorräume. Für $f, g \in L (V, W)$ und $λ \in K$ definieren wir

f + g : V \to W, v \mapsto (f + g) (v) := f (v) + g (v),

λ f : V \to W, v \mapsto (λ f) (v) := λ f (v) .

Dann sind $f + g$ und $λ f$ wieder linear und $L (V, W)$ ist selbst wieder ein $K$ -Vektorraum.

Ist $V = W$ , so enthält $L (V, V)$ insbesondere die Identität ${id}_{V}$ .

#Satz 3

Seien $V, W, X$ $K$ -Vektorräume.

Ist $f : V \to W$ linear, so gilt $f (0) = 0$ .
Sind $f : V \to W$ und $g : W \to X$ linear, so ist auch die Komposition $g \circ f : V \to X$ linear.
Ist $f : V \to W$ linear und bijektiv, so ist auch die Umkehrabbildung $f^{- 1} : W \to V$ linear.

Rechenregeln für lineare Abbildungen

Für lineare Abbildungen $f, g, h$ und $λ \in K$ gilt (falls die Verknüpfungen definiert sind)

$f \circ (g \circ h) = (f \circ g) \circ h$ ,
$f \circ (g + h) = (f \circ g) + (f \circ h)$ ,
$(f + g) \circ h = (f \circ h) + (g \circ h)$ ,
$λ (f \circ g) = (λ f) \circ g = f \circ (λ g)$ ,
$id \circ f = f = f \circ id$ .

Kern und Bild

#Definition : Kern und Urbild

Der Kern von $F$ ist das Urbild von $0$ : $$\text{Kern}(f)={ v \in V | f(v) = 0 } = f^{-1} ({ 0 })$$.
Das Bild von $f$ ist die Menge $$ \text{Bild}(f) = f(V) = { f(v)|v \in V }.$$
!AnaI LinA Ing Skript, p.118

#Satz

Sei $f : V \to W$ linear

$Kern (f)$ ist ein Teilraum von $V$
$Bild (f)$ ist ein Teilraum von $W$ f

#Definition Basis des Kerns einer Matrix

A \in K^{m, n}

Erinnerung: $Kern (A) = {x \in K^{n} ∣ A x = 0} = L (A, 0)$
Gegeben: $A \in K^{m, n}$
Gesucht: Basis von $Kern (A)$

Schritt: Bringe die Matrix $A$ in normierte Zeilenstufenform.
Schritt: Sei $Rang (A) = r$ . Dann gibt es $n - r$ frei wählbare Variablen. Berechne die Lösung von $A x = 0$ und setze die 1. frei wählbare Variable gleich 1, alle anderen frei wählbaren Variablen werden 0 gesetzt. Dies liefert den 1. Basisvektor.
Schritt: Wiederhole den 2. Schritt für die anderen frei wählbaren Variablen.

Das ergibt eine Basis von $Kern (A)$ mit $n - r$ Basisvektoren.
Insbesondere ist

dim (Kern (A)) = n - r = n - Rang (A) .

#Definition: Basis des Bildes einer Matrix

A \in K^{m, n}

Die Spalten von $A$ werden mit $a_{1}, \dots, a_{n} \in K^{m}$ bezeichnet, d.h. es ist $A = [a_{1} \dots a_{n}]$ . Für $x \in K^{n}$ ist $$ Ax = [a_1 \dots a_n] \begin{bmatrix} x_1 \ \vdots \ x_n \end{bmatrix} = x_1 a_1 + \dots + x_n a_n = \sum_{j=1}^n x_j a_j, $$
also die Linearkombination von den Spalten von $A$ mit den Koeffizienten $x_{1}, \dots, x_{n}$ . Daher ist $$ \text{Bild}(A) = {Ax \mid x \in \mathbb{K}^n} = \text{span}{a_1, \dots, a_n}. $$

Gesucht: Basis von $Bild (A)$
4. Schritt: Bringe die Matrix $A$ in Zeilenstufenform.
5. Schritt: Die Spaltenvektoren von $A$ , die zu einem Pivotelement in einer Zeilenstufenform von $A$ gehören, bilden eine Basis des Bildes.

Insbesondere ist $dim (Bild (A)) = Rang (A)$ .

Dimensionsformel

#Definition: Dimensionsformel für lineare Abbildungen

Sei $f : V \to W$ linear und $V$ endlichdimensional. Dann gilt

\dim (V) = \dim (Kern (f)) + \dim (Bild (f))

Interpretation

$V$ ist aufgeteilt in den Kern von $f$ (diese Vektoren werden auf $0 \in W$ abgebildet) und den Rest, der auf $Bild (f)$ abgebildet wird.
!AnaI LinA Ing Skript, p.120
Die Skizze veranschaulicht die Dimensionsformel $$ \dim(V) = \dim(\text{Kern}(f)) + \dim(\text{Bild}(f))$$

Folgerungen aus der Dimensionsformel

Sei $f : V \to W$ linear. Dann gilt:

$f$ ist injektiv $\Leftrightarrow Kern (f) = {0} \Leftrightarrow dim (Kern (f)) = 0$ .
$f$ ist surjektiv $\Leftrightarrow Bild (f) = W \Leftrightarrow dim (Bild (f)) = dim (W)$ . Dabei gilt die letzte Äquivalenz nur falls $dim (W) < \infty$ .
Wenn $dim (V) = dim (W) < \infty$ , so gilt: $f$ ist bijektiv $\Leftrightarrow f$ ist injektiv $\Leftrightarrow f$ ist surjektiv.