Sei $f:D\to \mathbb{R}$ mit $D\subseteq \mathbb{R}$. Man nennt ein $x_0\in D$

1. Stelle eines globalen Maximums, falls $f(x_0)\ge f(x)$ für alle $x\in D$.
   Man nennt dann $f(x_0)$ das globale Maximum.

2. Stelle eines globalen Minimums, falls $f(x_0)\le f(x)$ für alle $x\in D$.
   Man nennt dann $f(x_0)$ das globale Minimum.

3. Stelle eines lokalen Maximums, falls es $\epsilon >0$ gibt, so dass für alle $x\in D$ mit $|x-x_0|<\epsilon$ gilt $f(x_0)\ge f(x)$.
   Man nennt dann $f(x_0)$ ein lokales Maximum.

4. Stelle eines lokalen Minimums, falls es $\epsilon >0$ gibt, so dass für alle $x\in D$ mit $|x-x_0|<\epsilon$ gilt $f(x_0)\le f(x)$.
   Man nennt dann $f(x_0)$ ein lokales Minimum.

Gilt sogar $>$ statt $\ge$ bzw. $<$ statt $\le$ und ist $x\in D\setminus \{x_0\}$, so spricht man von strengen oder strikten lokalen oder globalen Extrema.

!AnaI LinA Ing Skript, p.172
Das globale Maximum ist der größte Wert, den die Funktion auf ihrem Definitionsbereich annimmt. Dieser Wert ist eindeutig, kann aber an mehreren Stellen angenommen werden. Für ein lokales Maximum reicht es, dass die Funktion in einer kleinen Umgebung kleiner als dieser Wert ist. Das globale Maximum ist auch ein lokales Maximum. Entsprechendes gilt für globale und lokale Minima.

Nimmt die Funktion $f:[a,b]\to \mathbb{R}$ in einem inneren Punkt $x_0\in ]a,b[$ ein Maximum an, dann haben die Sekanten links davon eine Steigung $\ge 0$ und rechts davon eine Steigung $\le 0$
!AnaI LinA Ing Skript, p.173
Ist f dann in $x_0$ differenzierbar, so ist die Ableitung $f^{\prime }(x_0)$ der Grenzwert der Steigungen der Sekanten, also einerseits $\ge 0$, andererseits $\le 0$, und deshalb ist $f^{\prime }(x0)=0$. Wir notieren dieses Resultat.

Sei $f:D\to \mathbb{R}$ im inneren Punkt $x_0$ differenzierbar. Wenn $x_0$ eine lokale Extremstelle ist, so ist die Ableitung dort Null: $f^{\prime }(x0)=0$.

In Randpunkten muss das nicht sein

Das ist nur eine notwendige Bedingung. Das bedeutet, dass jeder Extremwert diese Bedingung erfüllen muss aber nicht, dass jedes vermeintliche Extrema mit der notw. Bed. automatisch ein Extrema ist

Sei $f:I\to \mathbb{R}$ differenzierbar auf dem Intervall $I\subseteq \mathbb{R}$.
Sind $a,b\in I$ beliebig mit $a<b$, so gibt es mindestens eine Stelle $\xi \in ]a,b[$ mit

Anschaulich bedeutet der Mittelwertsatz, dass es irgendwo eine Tangente gibt, die die gleiche Steigung wie die Sekante durch $(a,f(a))$ und $(b,f(b))$ besitzt.

Sei $f:[a,b]\to \mathbb{R}$ stetig und auf $]a,b[$ differenzierbar. Ist $|f^{\prime }(x)|\le M$ für alle $x\in ]a,b[$ und für ein $M>0$, so ist

Sei $f:[a,b]\to \mathbb{R}$ stetig und auf $]a,b[$ differenzierbar.
Dann gilt:

1. $f^{\prime }(x)>0$ für alle $x\in ]a,b[\Rightarrow f$ ist streng monoton wachsend auf $[a,b]$.
2. $f^{\prime }(x)<0$ für alle $x\in ]a,b[\Rightarrow f$ ist streng monoton fallend auf $[a,b]$.
3. $f^{\prime }(x)\ge 0$ für alle $x\in ]a,b[\iff f$ ist monoton wachsend auf $[a,b]$.
4. $f^{\prime }(x)\le 0$ für alle $x\in ]a,b[\iff f$ ist monoton fallend auf $[a,b]$.

Sei $f:[a,b]\to \mathbb{R}$ stetig und auf $]a,b[$ differenzierbar.
Dann gilt: $f^{\prime }(x)=0$ für alle $x\in ]a,b[\iff f$ ist konstant auf $[a,b]$.

Sei $f$ differenzierbar im offenen Intervall $]a,b[$ und sei $x_0$ ein kritischer Punkt, also $f^{\prime }(x_0)=0$. Dann gilt:

1. $f$ hat in $x_0$ ein lokales Maximum, falls ein $\epsilon >0$ existiert mit: $f^{\prime }(x)>0$ für alle $x\in ]x_0-\epsilon ,x_0[$ und $f^{\prime }(x)<0$ für alle $x\in ]x_0,x_0+\epsilon [$.
2. $f$ hat in $x_0$ ein lokales Minimum, falls ein $\epsilon >0$ existiert mit: $f^{\prime }(x)<0$ für alle $x\in ]x_0-\epsilon ,x_0[$ und $f^{\prime }(x)>0$ für alle $x\in ]x_0,x_0+\epsilon [$.
   !AnaI LinA Ing Skript, p.177